Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn + Đường thẳng a và đường tròn O gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung + Đường thẳng a và đường tròn O gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung H . Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn O tại H . + Đường thẳng a và đường tròn O gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung, * Nhận xét: Đường thẳng a và đường tròn O; R cắt nhau khi d R , tiếp xúc với nhau khi d R và không giao nhau khi d R 2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn * Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. 3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn * Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn O cắt cắt nhau tại điểm P thì: + Điểm P cách đều hai tiếp điểm + PO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến + OP là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm. B. Các dạng toán Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Bài 1: Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 4cm . Không vẽ hình, hãy xét vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn O . a) O;3cm b) O;5cm c) O;4cm
2. Bài 2: Cho đường thẳng b và một điểm I cách b một khoảng d 6cm . Xác định vị trí tương đối của b với các đường tròn sau: a) Đường tròn I;3cm b) Đường tròn I;6cm c) Đường tròn I;8cm Bài 3: Cho đường tròn J;5cm và đường thẳng c . Gọi K là chân đường vuông góc vẽ từ J xuống c , d là độ dài của đoạn thẳng JK . Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường tròn J;5cm trong mỗi trường hợp sau: a) d 4cm b) d 5cm c) d 6cm Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A 4;3 . Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn tâm A , bán kính R 3 với các hệ trục tọa độ. Bài 5: Cho đường thẳng a và một điểm O cách a một khoảng 8cm . Vẽ đường tròn tâm O , bán kính 10cm a) Giải thích vì sao a và O cắt nhau b) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn O;10cm . Tính độ dài của dây MN . Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH . Đường thẳng BC có tiếp xúc với đường tròn A; AH hay không? Vì sao? Bài 7: Cho bốn điểm O , B , C , D thẳng hàng như trong hình. Giả sử đường thẳng m đi qua B và vuông góc với đường thẳng thẳng OC . Nêu vị trí tương đối của đường thẳng m và ba đường tròn cùng tâm O lần lượt đi qua các điểm A , B , C . Bài 8: Cho điểm A nằm trong đường tròn O . Chứng minh rằng mọi đường thẳng d đi qua A đều cắt O ở hai điểm phân biệt. Bài 9: Chứng minh rằng một đường thẳng và một đường tròn không thể có quá hai điểm chung.
3. Bài 10: Cho hình thang vuông ABCD ( µA Dµ 90 ), AB 4cm , BC 13cm và CD 9 cm. Tính AD và chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC . Bài 11: Cho ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm D bán kính DA Bài 12: Cho ABC vuông tại A có AB 3cm, AC 4cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2,8cm . Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC vầ đường tròn tâm A bán kính 2,8cm . Bài 13: Cho hình thang vuông ABCD có µA Bµ 900 , AD 2cm, BC 6m,CD 8cm . Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD Dạng 2: Nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn I. Phương pháp giải a) Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Giả thiết Đường thẳng a , điểm C thuộc O a  OC C Kết luận a là tiếp tuyến của đường tròn O; R b) Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn Giả thiết Đường tròn O; R và đường thẳng a d bằng khoảng cách từ O đến a và d R Kết luận a là tiếp tuyến của đường tròn O; R c) Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn
4. II. Bài toán Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao AH . Tìm tiếp tuyến của đường tròn A; AH tại H . Bài 2: Cho hai đường tròn O; R và O ; R tiếp xúc ngoài nahu tại điểm I . Gọi d là tiếp tuyến của O; R tại điểm I . Chứng minh d là tiếp tuyến của O ; R . Bài 3: Cho đường tròn O và điểm I ở ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn O . Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của O tại M . Bài 4: Cho hai đường tròn O , O cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn O . Chứng minh đường thẳng O B là tiếp tuyến của O . Bài 5: Cho AB là một dây không đi qua tâm của đường tròn O . Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của O ở điểm C . Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của O . Bài 6: Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6cm và hai đường thẳng chéo cắt nhau tại I . Chứng minh rằng đường tròn I;3cm tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông Bài 7: Cho đường tròn O; R và điểm A nằm ngoài O . Vẽ hai đường tròn đường kính OA , đường tròn này cắt O tại hai điểm phân biệt B và C . Kẻ BI là đường kính của đường tròn đường kính OA , kẻ BK là đường kính của đường tròn O . Chứng minh rằng: a) AB , AC là hai tiếp tuyến của O b) IK là tiếp tuyến của đường tròn B; BC 1 Bài 8: Cho tam giác MNP có N¶ 90 và NP MP a . Vẽ đường tròn tâm P tiếp xúc 2 với MN tại N . Qua N vẽ tia Nx vuông góc với MP cắt P tại điểm thứ hai Q ( Q N ). Chứng minh rằng MQ là tiếp tuyến của P và MNQ là tam giác đều. Bài 9: Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 8cm, BC 10cm. Vẽ đường tròn B; BA . Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn B A Bài 9: Cho đường tròn O và một dây AB . Gọi M là trung điểm của AB , vẽ bán kính OI đi qua M . Từ I vẽ đường thẳng xy / / AB . Chứng minh rằngB xy là tiếp tuyếnC của đường tròn O .
5. Bài 10: Từ điểm A ở ngoài đường tròn O; R vẽ tiếp tuyến AB ( B là tiếp điểm), C là điểm trên đường tròn O sao cho AC AB a) Chứng minh rằng AC là tiếp điểm của đường tròn O b) D là điểm trên AC . Đường thẳng qua C vuông góc với OD tại M cắt đường tròn O tại E ( E C ). Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn O Bài 11: Cho ABC , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH b) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH . Bài 12: Cho ABC vuông tại A , đường cao AH . Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E , đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC Tại F . Chứng minh rằng: a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn I và J tại H b) EF là tiếp tuyến của I tại E , tiếp tuyến của J tại F . Bài 13: Cho ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I . Chứng minh a) Đường tròn đường kính AI đi qua K b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI Bài 14: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD,CE cắt nhau tại H a. Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên 1 đường tròn b. Gọi O là đường tròn đi qua bốn điểm A, D, H, E và M là trung điểm của BC . Chứng minh ME là tiếp tuyến của O Bài 15: Cho O; R đường kính AB . Vẽ dây AC sao cho C· AB 300 , trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM R . Chứng minh rằng : a. MC là tiếp tuyến của đường tròn O b. MC 2 3R2 C A O B M
6. Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 8cm, AC 15cm . Vẽ đường cao AH . Gọi D là điểm đối xứng với B qua H . Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E a. Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn b. Tính HE Bài 17: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O . Vẽ hình bình hành ABCD , tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N . Chứng minh rằng : a. Đường thẳng AD là tiếp tuyến của đường tròn O b. AC, BD,ON đồng quy Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần lượt ở E và F . Gọi H là giao điểm của BE và CF . Chứng minh rằng : a. A, E, H, F cùng thuộc 1 đường tròn b. DE là tiếp tuyến của đường tròn ở câu a Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài I. Cách giải: Ta nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp điểm và sử dụng định lý pyatago. II. Bài toán Bài 1: Cho điểm M cách đường thẳng xy 6cm, vẽ đường tròn M ;10cm a. Chứng minh rằng đường tròn tâm M và đường thẳng xy cắt nhau b. Gọi hai giao điểm là P và Q . Tính PQ Bài 2: Cho hình vuông ABCD , trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI BA . Đường thẳng kẻ qua I vuông góc với BD cắt AD ở E . a. So sánh: AE, EI, ID b. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn E; EA Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB , M là 1 điểm thuộc nửa đường tròn, qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi D và C theo thứ tự là các hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy a. Chứng minh rằng M là trung điểm của CD
7. b. Chứng minh: AB BC AD c. Giả sử: ·AOM B· OM , gọi E là giao điểm của AD với nửa đường tròn. Xác định dạng của tứ giác BDCE d. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn sao cho tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó theo bán kính của nửa đường tròn đã cho. Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB . Trên các tia Ax và By lấy theo thứ tự hai điểm C và D sao cho C· OD 90, kẻ OH  CD a. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn tâm O đường kính AB b. Xác định vị trí tương đối của CD với đường tròn O Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy một khoảng 12 cm a. Chứng minh A;13cm cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt b. Gọi hai giao điểm của A;13cm với xy là B,C . Tính độ dài đoạn thẳng BC Bài 6: Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Lấy điểm C là điểm thuộc O và gọi d là tiếp tuyến qua C với với O . Kẻ AE và BF cùng vuông góc với d ; CH vuông góc với AB a. Chứng minh: CE CF và CH 2 AE.BF b. Khi C di chuyển trên một nửa đường tròn, tìm vị trí của điểm C để EF có độ dài lớn nhất. Dạng 3: Bài toán vận dụng tính chất tiếp tuyến I. Phương pháp giải Vận dụng tính chất của tiếp tuyến. Nếu đường thẳng là tiếp tuyến của O tại A thì  OA tại A . II. Bài toán Bài 1: Một thủy thủ đang ở trên cột buồm của một con tàu, cách mặt nước biển 10m . Biết bán kính Trái Đất là khoảng 6400km . Tính tầm nhìn xa tối đa của thủy thủ đó )kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn). Bài 2: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn O;3cm thỏa mãn OM 5cm . Đường thẳng MN đi qua M và tiếp xúc với đường tròn O tại N . a) Tam giác OMN có phải là tam giác vuông hay không? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng MN .
8. Bài 3: Cho ba điểm A , B , C thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C . Đường tròn O tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm C . Chứng minh: AO2 BC 2 BO2 AC 2 Bài 4: Từ điểm A cách O một khoảng d ( d R ) vẽ tiếp tuyến với đường tròn O; R ( B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng AB theo d và R . Bài 5: Cho đường tròn tâm O , bán kính R 5cm và một điểm A cách O bằng 13cm . Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn O ( B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn AB . Bài 6: Cho đường tròn O;5cm và dây AB 8cm . Một tiếp tuyến của O song song với AB cắt tia OA tại E , cắt tia OB tại F . Tính độ dài đoạn thẳng EF . Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm O; R1 và O; R2 ( 0 R1 R2 ). Từ điểm M nằm ngoài O; R2 , ta vẽ MA là tiếp tuyến của O; R1 , MB là tiếp tuyến của O; R2 (với A, B là các tiếp điểm). Đường trung trực của đoạn AB cắt OM tại I . Tính tỉ số MI MO Bài 8: Cho đường tròn O , bán kính R 3, dây MN vuông góc với bán kính OP tại trung điểm của OP . Tiếp tuyến tại M của O cắt tia OP tại I . Tính độ dài MI . Bài 9: Tìm giá trị của x trong hình vẽ Bài 10: Bán đà của một động cơ được thiết kế có dạng là một đường tròn tâm O , bán kính 15cm được kéo bởi một dây curoa. Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm M . Cho biết khoảng cách OM là 35cm . a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MA và MB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) b) Tính số đo ·AMB tạo bởi hai tiếp tuyến AM , BM và số đo ·AOB (kết quả làm tròn đến phút) Bài 11: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn O; R . Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn O; R tại hai điểm B và C . a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn O; R b) Chứng minh AB AC
9. c) Xác định tia phân giác của B· AC và B· OC Lời giải Bài 12: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn I;6cm và ME , MF là các tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F . Cho biết E· MF 60 a) Tính số đo E· MI và E· IF b) Tính độ dài MI Lời giải Bài 13: Một chiếc gương có dạng hình tròn được treo bằng hai sợi dây không dãn, mỗi sợi dây đều tiếp xúc với gương (hình a). Biết tổng độ dài hai dây treo là 6dm và góc giữa hai sợi dây là 60 . Hỏi bán kính của chiếc gương là bao nhiêu decimet (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Lời giải
10. Bài 14: Cho đường tròn O; R và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c,d qua M lần lượt tiếp xúc với O tại A , B . Biết ·AMB 120 . Chứng minh AB R . Lời giải Bài 15: Cho hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn O; R ( A và B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OP  AB b) Tính PA và PB , biết R 2cm và PO 4cm . Lời giải Dạng 4: Chứng minh một số tính chất và hệ thức hình học I. Phương pháp giải + Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhờ tính chất của tiếp tuyến + Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau nhờ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau + Áp dugnj định lí Pythagore, hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức về đoạn thẳng, diện tích, . II. Bài toán Bài 1: Cho đường tròn O; R và một điểm A nằm ngoài O . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB , AC với O . Vẽ đường kính CD . Chứng minh rằng: a) OA  BC b) BD//OA
11. Lời giải Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC tại D . Chứng minh rằng SABC BD  DC Lời giải Bài 3: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn O; R vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn O ( B , C là các tiếp điểm). Gọi H là chan đường vuông góc vẽ từ B xuống đường kính CD của O . Chứng minh rằng IB IH với I là giao điểm của AD và BH Lời giải Bài 4: Cho tam giác ABC có AB AC , µA 90; trung tuyến AM . Các đường tròn nội tiếp tam giác ABM và tam giác ACM tiếp xúc với AM lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng: MA MB AB a) ME 2
12. AB AC b) EF 2 Lời giải Dạng 5: Một số bài toán liên quan đến cực trị hình học I. Phương pháp giải Áp dụng bất đẳng thức trugn bình cộng, trung bình nhân (bất đẳng thức Côsi): Với mọi a b a , b không âm, ta có ab (dấu “=” xảy ra khi a b ). 2 2 a b Hoặc a b (dấu “=” xảy ra khi a b ). 2 II. Bài toán Bài 1: Cho đường tròn O; R và góc vuông Oxy . Tia Ox cắt O tại A , tia Oy cắt O tại B . Lấy điểm M trên cung nhỏ AB , vẽ tiếp tuyến tại M với O . Tiếp tuyến
13. này cắt Ox , Oy lần lượt tại H và K . Xác định vị trí của M để độ dài đoạn HK nhỏ nhất. Lời giải Bài 2: Cho nửa đường tròn O; R , đường kính MN . Vẽ tiếp tuyến Nx tại N của O . Gọi K là một điểm tùy ý trên tia Nx , nối MK cắt O tại I . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2MI MK . Lời giải Bài 3: Cho đường tròn cố định tâm O , bán kính R 1cm . Tam giác ABC thay đổi nhưng luôn ngoại tiếp O;1cm . Một đường thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn AB , AC lần lượt tại M , N . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN . Lời giải *) Chú ý: Một số bất đẳng thức đại số khác để giải bài toán cực trị hình học, ví dụ như: a) ax by a2 b2 x2 y2
14. 2 a2 b2 a b b) (với x , y 0) x y x y 1 1 4 1 1 1 9 c) ; (với x, y, z 0 ). x y x y x y z x y z BÀI TẬP VẬN DỤNG A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn O;8cm sao cho OA 12cm . Kẻ tia Ax tạo với OA một góc 300 . Gọi H là hình chiếu của O trên tia Ax . Khẳng định nào sau đây đúng A) Tia Ax và đường tròn O không có điểm chung nào B) Tia Ax và đường tròn O chỉ có một điểm chung C) Tia Ax và đường tròn O có hai điểm chung
15. Chọn đáp án C Giải thích: H Từ AOH vuông tại H , ta có: 6 8 OH OA.sinA 12.sin300 12.0,5 6 cm A 12 O OH R (bán kính) Vậy tia Ax và đường tròn O cắt nhau tại hai điểm. Câu 2: Cho đường tròn O; R và đường thẳng a . Gọi d là khoảng cách từ O đến a . Điền vào bảng để được các khẳng định đúng Vị trí tương đối của a và Số điểm Hệ số giữa O chung d và R a và O cắt nhau d R a và O không giao nhau Đáp án Vị trí tương đối của a và Số điểm Hệ số giữa O chung d và R a và O cắt nhau 2 d R 1 d R a và O không giao nhau 0 d R Câu 3: Cho đường tròn O; R , bán kính OA , dây CD là trung trực của OA . Kẻ tiếp tuyến với đường tròn O tại C , tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Khẳng định nào sau đây đúng A) OAC là tam giác đều B) Tứ giác OCAD là hình thoi C) CI R 3 D) Cả A, B, C đều đúng C R O I A D Câu 4: Cho đường tròn O; R và điểm P nằm bên ngoài đường tròn sao cho OP 2R . Kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn. Khẳng định nào sau đây sai A) M· ON 1200 B) Tam giác PMN là tam giác đều C) MN R D) Cả A, B, C đều sai
16. C 1 O 1 P 2 2 R N Câu 5: Xét bài toán: Cho góc xAy (khác góc bẹt) và lấy điểm D tùy ý trên cạnh Ax . Hãy nêu cách dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với Ax tại D và tiếp xúc với Ay . Hãy sắp xếp một cách hợp lí các câu sau để được lời giải đúng của bài toán trên a) Dựng tia phân giác At của góc xAy cắt d tại O b) Dựng đường tròn O;OD . Đó là đường tròn cần dựng c) Qua D dưụng đường thẳng d vuông góc với Ax d) Dựng góc xAy khác góc bẹt và lấy điểm D trên cạnh Ax Sắp xếp nào sau đây hợp lý? A) c),b),a),d) B) d),a),b),c) C) d),c),a),b) D) a),b),d),c) Chọn đáp án C x d D t O y A Câu 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy . Vẽ AD và BC vuông góc với xy . Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào c ác ô trống ở các khẳng định sau: A) WMC MD B) WAD BC có giá trị không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn C) WĐường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC và AB D) W Diện tích tứ giác ABCD lớn nhất khi M là điểm nằm giữa của cung tròn đường kính AB
17. Chọn đáp D M C A O H B Câu 7: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn O; R , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N . Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia AB tại M . Xác định hình dạng của tứ giác AMON A) Hình bình hành B) Hình thoi C) Hình chữ nhật D) Hình vuông Chọn đáp án B Giải thích B Câu 8: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn O; R , vẽ hai tiếpM tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N . Đường1 thẳng A O vuông góc với OC tại O cắt tia AB tại M . Điểm A phải cách O Imột khoảng là bao 2 nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của đường tròn O N A) OA R B) OA 2R C C) OA 3R D) OA 4R B M 1 A O I 2 N C
18. B. TỰ LUẬN Bài 1: Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4cm , 6cm , 7cm và 8cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng a và b . Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đều cách a một khoảng 6cm ). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng b thì hình nào đè lên đường thẳng a , hình nào không đè lên đường thẳng 6cm . Bài 2: Trên mặt phẳng, một vật nhỏ chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính 2m , một vật nhỏ khác chuyển động trên đường thẳng a sao cho khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng 3m . Hai vật nhỏ có bao giờ gặp nhau không? Bài 3: Cho bốn điểm O , M , N , P cùng nằm trên một đường thẳng sao cho điểm M nằm giữa hai điểm O và N ; điểm N nằm giữa hai điểm M và P . Gọi a , b , c lần lượt là các đường thẳng đi qua M , N , P và vuông góc với đường thẳng OP . Xác định vị trí tương đối cảu đường thẳng a , b , c và đường tròn O;ON Bài 4: Trong hình bên, mép ngoài cửa ra vào có dạng một phần của đường tròn bán kính 1,6m . Hãy tính chiều cao HK của cửa đó, biết AH 0,9m . Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy một đoạn 12cm . Vẽ đường tròn A;13cm . Chứng minh rằng xy cắt A;13cm tại hai điểm phân biệt B và C . Tính độ dài đoạn BC . Bài 6: Cho trước đường thẳng a . Tâm O của tất cả các đường tròn có đường kính 2cm và tiêp xúc với đường thẳng A;13cm nằm trên đường tròn nào? Bài 7: Cho góc vuông Oxy và đường tròn tâm I tiếp xúc với hai cạnh của Oxy tương ứng tại M và N . Biết OI a , tính OM . Bài 8: Cho đường tròn O và một điểm A nằm ngoài đường tròn O . Những điểm M sao cho đường thẳng AM không có điểm chung với đường tròn O thì nằm ở đâu? Bài 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A và G là trọng tâm của tam giác. Lấy một điểm I bất kì bên trong tam giác CGH rồi vẽ đường tròn I tiếp xúc với cạnh AC . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và BC với đường tròn I .
19. Bài 10: Trong hình vẽ bên, AB là tiếp tuyến của đường tròn O tại B . a) Tính bán kính r của đường tròn O b) Tính chiều dài cạnh OA của tam giác ABO Bài 11: Trong hình bên, AB 9 , BC 12 , AC 15 và BC là đường kính của đường tròn. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn O . Bài 12: Cho đường tròn O đi qua ba đỉnh A , B và C của một tam giác cân tại A . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của O . Bài 13: Cho đường tròn O và dây AB . Điểm M nằm ngoài đường tròn O thỏa mãn 1 điểm B nằm trong góc MAO và M· AB ·AOB . Chứng minh đường thẳng MA là tiếp 2 tuyến của đường tròn O . Bài 14: Một người quan sát đặt mắt ở vị trí A có độ cao cách mực nước biển là AB 5m . Cắt bề mặt trái đất bởi một mặt phẳng đi qua điểm A và tâm của Trái Đất thì phần chung giữa chúng là một đường tròn lớn tâm O như hình bên. Tầm quan sát tối đa từ vị trí A là đoạn thẳng AC , trong đó C là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A với đường tròn O . Tính độ dài đoạn thẳng AC (theo đơn vị kilômét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết bán kính Trái Đất là OB OC 6400 km . Bài 15: Cho hệ trục Oxy , điểm A 1;2 . Vẽ đường tròn tâm A , bán kính r 5 , đường tròn này cắt trục tung tại điểm N ( N không trùng O ). Lấy điểm M x;0 trên trục hoành. Xác định x để MN là tiếp tuyến của A;r . Bài 16: Cho nửa đường tròn O , đường kính AB . Từ một điểm M trên đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A của B trên xy . Chứng minh rằng: a) M là trung điểm của HK b) Đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB . Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH . Gọi D là điểm đối xứng của B qua H . Vẽ DE// AB ( E thuộc AC ). Chứng minh rằng: a) Tam giác HAE cân tại H . b) HE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . Bài 18: Cho đường tròn O , điểm M nằm ngoài O sao cho MA và MB là hai tiếp tuyến ( A, B là hai tiếp điểm) thỏa mãn ·AMB 60 . Biết chu vi tam giác MAB là 18cm , tính độ dài dây AB .
20. Bài 19: Quan sát hình bên. Biết AB , AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn O tại B , C . Tính giá trị của x . Bài 20: Ở hình vẽ bên. Biết MB , MC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn O tại B và C ; C· OB 130 . Tính số đo C· MB . Bài 21: Cho tam giác ABC có đường tròn O nằm trong và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Biết AM 6cm , BP 3cm , CE 8cm . Tính chu vi tam giác ABC . Bài 22: Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox , điểm B nằm trên cạnh Oy sao cho OA OB . Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P . Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn P; PA Bài 23: Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn O ( A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB . Tiếp tuyến của O tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F . a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA SB b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn O . Chứng minh rằng SE SF Bài 24: Cho đường tròn O; R có đường kính AB . Vẽ dây AC sao cho AC R . Gọi I là trung điểm của dây AC . Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M . Chứng minh rằng: a) ·ACB có số đo bằng 90 , từ đó suy ra độ dài của BC theo R b) OM là tia phân giác của C· OA c) MC là tiếp tuyến của đường tròn O; R . Bài 25: Cho đường tròn O;5cm , điểm M nằm ngoài O sao cho hai tiếp tuyến MA , MB ( A, B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M . a) Tính độ dài của MA và MB b) Qua giao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn O , vẽ một tiếp tuyến cắt OA , OB lần lượt tại C , D . Tính độ dài của CD . Bài 26: Cho đường tròn O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c , d đi qua M lần lượt tiếp xúc với O tại A , B . Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I . Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA , MB và AB Bài 27: Cho đường tròn O; R đường kính AB và các đường thẳng m , n , p lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại A , B , C . Chứng minh rằng: a) AD BE DE 1 1 b) C· OD C· OA và C· OE C· OB 2 2