Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A. Kiến thức cần nhớ 1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn Cho góc nhọn . Xét ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng . Ta có: + Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của , kiế hiệu sin + Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của , kí hiệu là cos + Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc gọi là tang của , kiế hiệu tan + Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc gọi là côtang , kí hiệu cot . * Ta có: c¹nh ®èi c¹nh kÒ c¹nh ®èi c¹nh kÒ + sin = ; cos = ; tanα= ; cotα= c¹nh huyÒn c¹nh huyÒn c¹nh kÒ c¹nh ®èi 1 + cot tan + sin , cos , tan ,cot gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn * sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất Ta có bảng các giá trị lượng giác đặc biệt: *) Chú ý: Cách tính chính xác cạnh đối và cạnh kề của góc cần viết tỉ số lượng giác Chẳng hạn: Xét ABC vuông tại A, có: Viết tỉ số lượng giác của góc nhọn trong AC AB sin B sin C tam giác ABC vuông tại A. BC BC AB AC A cosB cosC BC BC AC AB tanB tanC AB AC B C
2. AB AC cotB cotC AC AB 2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau * Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. * Cho và  là hai góc phụ nhau, khi đó: sin cos  , sin  cos , tan cot  , cot tan  C α β A B 3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của góc nhọn. * Để tìm góc khi biết cot , ta có thể tìm góc 90 vì tan 90 cot rồi suy ra . B. Các dạng toán Dạng 1: Sử dụng MTCT tính tỉ số lượng giác, tính góc Bài 1: Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba. a) sin 27 , cos3215', tan 5212' và cot 3523' b) sin 4054', cos5215', tan 6936' và cot 2518' Bài 2: Sử dụng MTCT, tìm các góc (làm tròn đến phút) biết: a) sin 1 0,3214 , cos 2 0,4321, tan 3 1,2742 và cot 4 1,5384 b) sin 1 0,3782 , cos 1 0,6251, tan 1 2,154 và cot 1 3,253 Bài 3: Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau: a) 26 b) 72 c) 8127 Bài 4: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm góc nhọn trong mỗi trường hợp sau đây 3 a) cos =0,6 b) tan 4
3. Bài 5: Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữu số thập phân thứ ba) a) sin 4012 b) cos5254 c) tan 6336 d) cot 2518 Bài 6: Dùng MTCT. Tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng: a) sin x 0,2368 b) cos x 0,6224 c) tan x 1,236 d) cot x 2,154 Dạng 2: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong một tam giác vuông I. Cách giải: - Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền - Tính đoạn thẳng chưa biết (nhờ định lí Pitago hoặc hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông) Xác định cạnh đối, kề, huyền Viết tỉ số lượng giác Tính đoạn thẳng chưa biết. *) Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tính tỉ số lượng giác của hai góc nhọn trong cùng một tam giác vuông thi sử dụng tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. II. Bài toán Bài 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O . a) Tỉ số OB là sin của góc nhọn nào? Tỉ số OB là côsin của góc nhọn nào? AB BC b) Viết tỉ số lượng giác của mỗi góc nhọn sau: tan O· CD , cot O· AD B A C O D Bài 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc , trong tam giác ABC ở hình vẽ bên. A 12 9 α B 15 C
4. Bài 3: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn A trong mỗi tam giác vuông ABC có Bµ 90 ở hình sau. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 3 cm, AC 4 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác sin , cos , tan với Bµ Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 5 cm, AC 12cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B Bài 6: Tính tỉ số lượng giác của góc B trong hình vẽ bên. B 5 A 12 C Bài 7: Cho tam giác MNP vuông tại M , MN 3cm, MP 4 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc P Bài 8: ABC vuông tại A có BC 2AB . Tính các tỉ số lượng giác của góc C Bài 9: ABC cân tại A, có BC 6 , đường cao AH 4 . Tính các tỉ số lượng giác của góc B Bài 10: Tính tan C trong hình vẽ bên. A 6 B 3 H C Bài 11: Tính sin M cos N trong hình vẽ bên.
5. O M 1 H 3 N Bài 12: Tam giác ABC vuông tại A, AB 1,5 , BC 3,5. Tính tỉ số lượng giác của góc C rồi suy ra các tỉ số lượng giác của góc B Bài 13: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 40: sin 40 , cos60 , sin 5230' , tan80 , cot 82 . Bài 14: Tia nắng chiếu qua điểm B của tòa nhà tạo với mặt đất một góc x và tạo với cạnh AB của tòa nhà một góc y (hình vẽ). Cho biết cosx 0,78 và cot x 1,25. Tính sin y và tan y (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Bài 15: Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài AB 4 m được đặt dựa vào tường, khoảng cách từ chân thang đến chân tường là BH 1,5m. Tính góc tạo bởi cạnh AB và phần tường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Bài 16: Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chueyenr động qua lại quanh vị trí cân bằng. Khi kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm A của quả cầu cách B một khoảng AB 60cm và cách vị trí cân bằng một khoảng AH 20 cm. Tính số đo góc tạo bởi sợi dây BA và vị trí cân bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
6. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TOÁN 2 Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại C có BC 1,2cm; AC 0,9cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A A Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 1,6cm; AC 1,2cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C . 0,9 Bài 3: Cho tam giác ABC có AB a 5, BC a 3 , AC a 2 C 1,2 B a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A A 5 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 5cm , cotB . Tính độ dài các đoạn thẳng 8 AC và BC a) Chứng minh tam giác ABC vuông C B b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH H BC , hãy tính sinB và sinC làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư trong các trường hợpA sau: a) AB 13m, BH 0,5dm 13 b) BH 3cm,CH 4cm 4 3 Bài 6: Cho tam giác ABC đều, cạnh a , đường cao AH . Tính tỉC số lượngH giác 5của các B góc ·ABH , H· AB (không dùng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt) Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB AC , chu vi là 72 cm và trung tuyến AM 15cm. Tính tỉ số lượng giác của các góc B, C Bài 8: Cho tam giác ABC có AB 5 cm, AC 3cm, Bµ 2Cµ 90. Tính sin C Dạng 3: Tính các cạnh trong một tam giác vuông sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.
7. Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có Cµ 30 và BC a . Tính các cạnh AB , AC theo a Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có Cµ 45 và AB c . Tính các cạnh BC , AC theo c Bài 3: Tính chiều cao của tháp canh trong hình bên (kết quả làm tròn đén hàng phần trăm). 5 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 6cm,tanB . Hãy tính độ dài đường cao 12 AH và trung tuyến BM của tam giác ABC A M 6 B H C Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH H BC biết BH 4cm , CH 1cm . A Hãy tính các cạnh và các góc của tam giác vuông ABC . Lời giải 1 4 C H B Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH H BC , biết BH 4cm , AC 3 13cm . Hãy tính các cạnh và các góc của tam giác vuông ABC . A Lời giải 3 13 Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 10 cm, AC 15cm 4 a. Tính góc B C H B b. Phân giác trong của góc B cắt AC tại I . Tính AI c. Vẽ AH vuông góc với BI tại H . Tính AH
8. 2 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH 6cm H BC , biết tanCµ . 3 Hãy tính độ dài các cạnh: HB, HC, AB, AC Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC 15cm, Bµ 500 . Hãy tính độ dài A a) AB, AC b) phân giác CD 6 B H C Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc Cµ 300 , BC 10cm a. Tính AB, AC b. Kẻ từ A các đường thẳng AM , AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh MN AB c. Chứng minh các tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng. Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , Cµ 450 , đường trung tuyến AM , đường cao AH , MA MB MC a . Chứng minh rằng: a) sin2 2sin .cos b) 1 cos2 2cos2 c) 1 cos2 2sin2 m Dạng 4: Dựng góc nhọn biết một tỉ số lượng giác của góc đó bằng n I. Phương pháp giải: Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n ( m và n tương ứng là cạnh góc vuông và cạnh huyền nếu tỉ số lượng giác đã co là sin hoặc cos; m và n là hai cạnh góc vuông nếu tỉ số lượng giác đã cho là tan hoặc cot) rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc . II. Bài toán Bài 1: Dựng góc , biết sin 0,25 Bài 2: Dựng góc , biết cos =0,75
9. Bài 3: Dựng góc , biết tan =1,5 Bài 4: Dựng góc , biết cot =2 Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác với các góc đặc biệt I. Phương pháp giải + Sử dụng bảng giá trị các tỉ số lượng giác của các góc 30 ; 45; 60 + Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau II. Bài toán Bài 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: a) sin2 45 cos 2 45 b) tan 30cot 30 c) sin 30cos 60 tan 45 Bài 2: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: 2cos45 2sin 60 a) A 3 tan 30 b) B cot 45 2 3 Bài 3: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: a) M 4cos2 45 3 cot 30 16cos3 60 2sin 30 sin 60 b) N cos2 30 cos60 Bài 4: Tính a) sin 61 cos29 b) cos15 sin 75 c) tan 28 cot 62 d) cot 47 tan 43 Bài 5: Tính giá trị của biểu thức a) P sin2 30 sin2 40 sin2 50 sin2 60 b) cos2 25 cos2 35 cos2 45 cos2 55 cos2 65 Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau a. A 4 sin2 450 2cos2 600 3cot3 450 b. tan cot b. B tan450.cos300.cot300 c. C cos2150 cos2 250 ... cos2 750 d. D sin2100 sin2 200 ... sin2 800
10. Dạng 6: So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số I. Phương pháp giải Dùng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (nếu cần) và căn cứ vào những tính chất sau: + khi góc nhọn tăng từ 0 đến 90 thì” sin tăng và tan tăng cos giảm và cot giảm + sin <tan ;cos cot II. Bài toán Bài 1: So sánh a) sin 25 và cos65 b) cos25 và sin 65 c) tan 25 và cot 65 d) cot 25 và tan 65 Bài 2: So sánh a) So sánh sin 72 và cos18 ; sin18 và cos72 ; tan 72 và cot18 b) Cho biết sin18 0,31; tan18 0,32 . Tính cos72 và cot 72 sin 50 cot 70 Bài 3: So sánh hai tỉ số m và n , biết m ; n cos65 tan35 Bài 4: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần a) sin70,cos30,cos40,sin51 b) cos34,sin57, cot 32 Bài 5: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần a) cot40,sin40,cot43, tan 42 b) tan 52,cot 63, tan 72,cot 31,sin27, Bài 6: Cho 25 50 , hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần: sin ;cos 40 ;tan 10 . BÀI TẬP VẬN DỤNG A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
11. 5 Câu 1: Cho ABC vuông tại A, AB 6cm, Bµ . Biết tan . Độ dài cạnh AC, BC 12 lần lượt là? a) 5 và 13 b) 5 và 2 2 2 2 13 c) 13 và 5 d) 15 và 3 2 2 2 2 Chọn đáp án A A Giải thích: Ta có: 5 AC a) Trong ABC có tan 12 AB α AC 5t C t 0 B AB 12t 1 5 Vì AB 6cm 12t 6 t AC 2 12 b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC , ta được: 2 2 2 2 2 2 5 BC AB AC BC 6 2 13 BC cm BC 0 2 Câu 2: Cho OPQ có OQ 9,6cm, PQ 12cm . Số đo các góc của OPQ lần lượt là? (làm tròn kết quả đến độ) a) Pµ 370 ;Qµ 350 ;Oµ 370 b) Pµ 530 ;Qµ 370 ;Oµ 900 c) Pµ 900 ;Qµ 350 ;Oµ 540 d) Pµ 530 ;Qµ 900 ;Oµ 370 Chọn đáp án B A Giải thích: Ta có: 2 2 2 2 OP OQ 7,2 9,6 144 1 2 2 PQ 12 144 2 α C B Từ (1)(2), suy ra: OP2 OQ2 PQ2
12. OPQ vuông tại O 9,6 sinPµ 0,8 Pµ 530 1,2 Qµ 900 Pµ 900 530 370 Câu 3: Cho ABC có Bµ 600 ,Cµ 450 , AB 10cm . Chu vi của tam giác ABC là? (làm tròn kêt quả đến chữ số thập phân thứ hai) a) 35,6 b) 35,7 c) 35,8 d) 35,9 Câu 4: Với góc nhọn tùy ý. Khẳng định nào sau đây sai sin cos a) tan b) cot cos sin c) tan .cot 2 d) sin2 cos2 1 B. TỰ LUẬN Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác của góc B trong mỗi trường hợp sau: a) BC 5 cm; AB 3 cm b) BC 13 cm; AC 12cm c) BC 5 2 cm; AB 5 cm d) AB a 3 cm; AC a cm Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC 4 cm, BC 6 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 2 cm, AC 3cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc C Bài 4: Cho tam giác MNP có MN 5 cm, MP 12cm, NP 13cm. Chứng minh tam giác MNP vuông tại M . Từ đó tính các tỉ số lượng giác của góc N Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn C khi biết: a) AB 8 cm, BC 17 cm
13. b) AC 0,9 cm, AB 1,2 cm Bài 6: Hình bên mô tả tia nắng mặt trời dọc theo AB tạo với phương nằm ngang trên mặt đất một góc ·ABH . Sử dụng máy tính cầm tay, tính số đo góc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết AH 2 m, BH 5 m. Bài 7: Tia nắng chiếu qua nóc của một tòa nhà hợp với mặt đất một góc . Cho biết tòa nhà cao 21m và bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc (kết quả làm tròn đến độ). Bài 8: Một cái thang dài 12m được đặt vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 7 m. Tính góc tạo bởi thang và tường. Lời giải Bài 9: Hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và 3 . TÍnh góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác). Bài 10: Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60 và cạnh kề với góc 60 bằng 3 cm. Hãy tính cạnh đối của góc này.
14. Lời giải Bài 11: Cho tam giác vuông có một góc nhọn 30 và cạnh đối với góc này bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh của tam giác. Lời giải Bài 12: a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 sin 55 , cos62 , tan 57 , cot 64 tan 25 b) Tính , tan 34 cot 56 cot 65 Lời giải Bài 13: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 a) sin 60 b) cos75 c) tan80 Bài 14: Mỗi tỉ số lượng giác sau đây bằng tỉ số lượng giác nào của góc 63 ? Vì sao? a) sin 27 b) cos 27 c) tan 27 d) cot 27 Bài 15: Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, tính giá trị biểu thức: A sin 25 cos 25 sin 65 cos65 Bài 16: Tính giá trị của các biểu thức sau sin 30cos30 a) A cos 45 tan 30 b) B cos 45cos60 Bài 17: Cho góc nhọn . Biết rằng, tam giác ABC vuông tại A sao cho Bµ a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn theo AB , BC , CA
15. sin b) Chứng minh sin2 cos2 1; tan ; tan cot 1 cos Từ đó tính giá trị biểu thức S sin2 35 cos2 35 ; T tan 61cot 61