Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

1. MỘT SỐ HỆ THỨC GIỮA CẠNH, GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ ỨNG DỤNG A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. + Trong tam giác ABC vuông tại A ta có b a.sin B a.cosC c a.sin C a.cos B 2. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot góc kề. + Trong tam giác ABC vuông tại A ta có b c.tan B a.cot C c b.tan C b.cot B 3. Giải tam giác vuông Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh ( hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán Giải tam giác vuông. Trong đo đạc, khi người quan sát có hướng nhìn ngang theo tia Ox (hình bên) + Góc x·OA gọi là góc nghiêng lên hay góc nâng + Góc x· OB gọi là góc nghiêng xuống hay góc hạ. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải tam giác vuông Ví dụ 1. Giải các tam giác vuông ở hình sau. Làm tròn kết quả độ dài đến hàng đơn vị và số đo góc đến độ. Ví dụ 2. Giải tam giác ABC vuông tại Abiết
2. a) AB 4, AC 6 b) AB 4, BC 8 c) AB 3; Bµ 42 d) BC 9,Cµ 53 Ví dụ 3. Giải tam giác ABC vuông tại A biết a) AB 3,5 và AC 4,2 b) AB 3,0 và BC 4,5 c) Bµ 50 và AB 3,7 d) Bµ 57 và BC 4,5 Ví dụ 4. Giải tam giác ABC vuông tại A biết a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có BC 2 AB2 AC 2 (theo định lý Pythagorre) suy ra 132 52 AC 2 Suy ra AC 2 144 hay AC 12(cm) AC 12 tan Bµ suy ra Bµ 67 AB 5 Bµ Cµ 90 (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông) Suy ra Cµ 90 Bµ 90 67 23 b) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có Bµ Cµ 90 (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông) Suy ra Cµ 90 Bµ 90 35 55 AB BC.cos Bµ 5.cos35 4,1(cm) AC BC.sin Bµ 5.sin 35 2,9 (cm) c) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có Bµ Cµ 90 (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông) Suy ra Cµ 90 Bµ 90 50 40 AC AB.tan Bµ 6.tan 50 7,2 (cm) AB 6 AB BC.cos Bµ hay BC 9,3(cm) cos Bµ cos50 d) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có Bµ Cµ 90 (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông) Suy ra Cµ 90 Bµ 90 55 35 AB AC.tan Cµ 7.cos35 4,9 (cm) AB 4,9 AB BC.cos Bµ hay BC (cm) cos Bµ cos55 8,5 Ví dụ 5. Cho hình chữ nhật ABCD thỏa mãn AC 6 cm, B· AC 47 . Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AD
3. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AB 2,5; BH 1,5. Tính Bµ;Cµ và AC Dạng 2. Giải tam giác nhọn Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có Bµ 65,Cµ 45 và AB 2,8cm. Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác đó (gọi là giải tam giác ABC ). Ví dụ 8. Giải tam giác ABC có Bµ 65,Cµ 40 và BC 4,2 cm Ví dụ 9. Giải tam giác ABC có Bµ 70 và AB 2,1; AC 3,8 cm Ví dụ 10. Giải tam giác ABC biết Bµ 60, AB 3,0 và BC 4,5 . Ví dụ 11. Trong hình bên, tính độ dài của mỗi đoạn thẳng sau: a) HB và HC b) AH và AC Dạng 3. Tính diện tích tam giác, tứ giác Ví dụ 12. Cho tam giác ABC như hình vẽ bên. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC 1 có diện tích là S .b.c.sin 2 Ví dụ 13. Tứ giác ABCD như hình vẽ phía dưới. Biết AB 3,8; BD 5,0 và 65. Tính diện tích của tứ giác đó. Ví dụ 14. Tam giác ABC có Bµ Cµ 60; AB 3; AC 6 . Tính độ dài đường phân giác AD . Ví dụ 15. HÌnh bình hành ABCD có AC  AD và AD 3,5; Dµ 50 . Tính diện tích của hình bình hành. Ví dụ 16. Hình thang ABCD Ab//CD có Dµ 90;Cµ 38, AB 3,5; AD 3,1. Tính diện tích hình thang đó. Dạng 4. Ước lượng chiều cao và khoảng cách Ví dụ 17. Một chiếc thang dài 3m . Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc an toàn 65 (tức là đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14)?
4. Ví dụ 18. Một khúc sông rộng khoảng 250m . Một con đò chèo qua sông bị dòng nước chảy đẩy xiên nên phải chèo khaongr 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước chảy đã đẩy con đò đi lệch một góc bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)? Lời giải Ví dụ 19. Trong trò chơi đánh đu của một lễ hội vào mùa xuân, khi người chơi nhún đều. Cây đu sẽ đưa người chơi dạo động quanh vị trí cân bằng. Hình bên minh họa người chơi đang ở vị trí A với OA 5m và dây OA tạo với phương thẳng đứng một góc ·AOI 16 Tính khoảng cách AI (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét)? Lời giải Ví dụ 20. Một máy bay cất cánh từ vị trí A trên đường băng của sân bay và bay theo đường thẳng AB tạo với phương nằm ngang AC một góc là 20. Sau 5 giây, máy bay ở độ cao BC 110m . Em hãy tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng trăm của mét). Lời giải
5. Ví dụ 21. Năm 1990, tháo nghiêng ở thành phố Pisa (Italia) bắt đầu quá trình trùng tu nhằm giảm độ nghiêng của tháp. Sau 10 năm trùng tu, vào năm 2001, các kĩ sư đã thành công trong việc đưa độ nghiêm của tháp chỉ còn khoảng 4(Nguồn: Giả sử một người đứng trên tháp (tại vị trí A), cách mặt đất một khoảng là AH 45m , thả một vật rơi xuống đất (Hình bên). Tính khoảng cách từ vị trí chạm đất (vị trí H ) đó đến chân tháp (vị trí B) (làm tròn kết quả đến hàng trăm của mét). Ví dụ 22. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34 và bóng của một tòa tháp trên mặt đất dài 8,6 m. Tính chiều cao của tòa tháp đó (làm tròn kết quả đến mét). Ví dụ 23. Bóng trên mặt đất của một cái cây dài 25 m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 40.
6. Ví dụ 24. Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500km / h . Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 30 .(Hình bên). Hỏi sau 1,2 phút, máy bao lên cao được bao nhiêu ki-lo-met theo phương thẳng đứng? Ví dụ 25. Một cần cẩu đang nâng một khối gỗ trên sông, Biết ta cẩu AB có chiều dài bằng 16m và nghiêng một góc 42 so với phương nằm ngang. Tính chiều dài BC của đoạn dây cáp (kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Ví dụ 26. Hai con thuyền P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ P và Q người ta nhìn thấy tháp hải đăng dưới các góc B· PQ 14 và B· QA 42 . Đặt h AB là chiều cao của tháp hải đăng. a) Tính BQ và BP theo h b) Tính chiều cao của tháo hải đăng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
7. Ví dụ 27. Trong hình bên cho OH 4m; ·AOH 42; H· OB 28 . Tính chiều cao AB của cây Ví dụ 28. Tam giác ABC ở hình bên (có µA 90 ) mô tả cột cờ AB và bóng nắng của cột cờ trên mặt đất là AC . Người ta đo được độ dài AC 12m và Cµ 40 . Tính chiều cao AB của cột cờ. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét). Ví dụ 29. Trong lần tham quan tháp Eiffel (thủ đô Paris, Pháp), bạn Vân muốn ước tính độ cao cảu tháp. Sau khi quan sát, bạn Vân đã minh họa kết quả đo đạc ở hình bên. Em hãy giúp bạn Vân tính độ cao h của tháp Eiffiel theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
8. Ví dụ 30. Để ước lượng chiều cao của một cái tháp mà không cần lên đỉnh tháp, người ta sử dụng giác kế, máy tính cầm tay. Chẳng hạn, ở hình bên, để đo chiều cao AD của tháp, người ta đặt giác kế tại một điểm quan sát cách chân tháp một khoảng CD OB a , trong dó chiều cao của điểm đặt giác kế là OC b . Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm thanh này ta nhìn thấy đỉnh A của tháp, đọc trên giác kế số đo góc của góc AOB . Tính chiều cao của tháp, biết 42; b 13,81m ; a 90 m. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét). C. BÀI TẠP VẬN DỤNG Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A có BC a; AC b; AB c trong các trường hợp sau: a) a 21;b 18 b) b 10;Cµ 30 c) c 5;b 3 Bài 2. Tìm x; y trong mỗi hình bên dưới (làm tròn đến hàng phần mười của centimet)
9. Bài 3. Cho tam giác ABC có đường cao AH 6cm, Bµ 40;Cµ 35. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BH, AC, BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimet) Lời giải 1 Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 30 . Chứng minh AC BC 2 Lời giải Tam giác ABC vuông tại A nên AC 1 sin Bµ hay AC BC.sin 30 .BC BC 2 2 Bài 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Chứng minh AB AC BC 2 Bài 6. Trong hình bên cho Oµ , AB m và O· AB O· CA O· DC 90. Chứng minh a) OA m.cot b) AC m.cos c) CD m.cos2 Bài 7. Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD biết AC 16 cm và B· AC 68 . Bài 8. Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài 2 3 và 2 Lời giải
10. Bài 9. Cho hình thang ABCD AB//CD có AD 16cm; BC 4cm và µA Bµ ·ACD 90 a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD . Chứng minh ·ADC ·ACE . Tính sin của các góc ·ADC; ·ACE và suy ra AC 2 AE.AD . Từ đó tính AC b) Tính góc D của hình thang. Bài 10. Cho tam giác ABC có BC 20cm; ·ABC 22; ·ACB 30 a) Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thắng AC . b) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC . Bài 11. Tính độ dài đường gấp khúc ABCDEGH biết các tam giác OAB;OBC;OCD;ODE;OEG;OGH là các tam giác vuông tại ác đỉnh lần lượt là B,C, D, E,G, H các góc O1;O2 ;O3;O4 ;O5;O6 đều bằng 30 và OA 2cm . Bài 12. Tính góc nghiêng của thùng xe chở rác trong hình sau: Bài 13. Tính góc nghiêng và chiều rộng AB của mái nhà kho trong hình sau: Bài 14. Trong công việc, người ta cần ước lượng khoảng cách từ vị trí O đến khu đất có dạng hình thang MNPQ nhưng không thể đo được trực tiếp, khoảng cách đó được tính bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng MN . Người ta chọn vị trí A ở đáy MN và đo được
11. OA 18 m, O· AN 44. Tính khoảng cách từ vị trí O đến khu đất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét). Bài 15. Hình bên minh họa một phần con sông có bề rộng AB 100m . Một chiếc thuyền đi thẳng từ vị trí B bên này sông đến vị trí C bên kia bờ sông. Tính quãng đường BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết ·ABC 35. Bài 16. HÌnh bên mô tả ba vị trí A, B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông và không đo được trực tiếp các khoảng cách từ C đến A và từ C đến B. Biết AB 50m; ·ABC 40 . Tính các khoảng cách CA và CB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét). Bài 17. Một mảnh gỗ có dạng hình chữ nhật ABCD với đường chéo AC 8dm . Do bảo quản không tốt nên mảnh gỗ bị hỏng phía hai đỉnh B và D . Biết B· AC 64 . Người ta cần biết độ dài AB và AD để khôi phục lại mảnh gỗ ban đầu. Độ dài AB, AD bằng bao nhiêu decimet (làm tròn đến hàng phần mười) Bài 18.
12. Từ vị trí A ở phía trên một tòa nhà có chiều cao AD 68m , bác Duy nhìn thấy vị trí C cao nhất của một tháp truyền hình, góc tạo bởi tia AC và tia AH theo phương nằm ngang là C· AH 43 . Bác Duy cũng nhìn thấy chân tháp tại vị trí B mà góc tạo bởi tia AB và tia AH là B· AH 28 , điểm H thuộc đoạn thẳng BC . Tính khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà và chiều cao BC của tháp truyền hình (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét). Bài 19. Một người đẩy một vật lên hết một con dốc nghiêng một góc 35 . Tính độ cao của vật so với mặt đất biết độ dài con dốc là 4m . Bài 20. Một người đứng tại điểm A, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm B là 1,2m , nhìn thấy hình phản chiếu qua gương B của ngọn cây (cây có góc ở tại điểm C cách B là 4,8m, B nằm giữa A và C ). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1,65m . Tính chiều cao của cây.
13. Bài 21. Lúc 6 giớ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B). Khi đi từ A đến B, An phải đi lên đoạn dốc AC và xuống đoạn dốc CB (hình dưới). Biết AB 762m, µA 6; Bµ 4. a) Tính chiều cao h của con dốc b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ khi lên dốc là 4km / h và tốc độ khi xuống dốc là 19km / h . Bài 22. Để ước lượng chiều cao của một cây trong sân trường, bạn Hoàng đứng ở sân trường theo phương thẳng đứng, mắt bạn Hoàng đặt tại vị trí C cách mặt đất một khoảng CB DH 1,64m và cách cây một khoảng CD BH 6m . Tính chiều cao AH của cây (làm tròn kết quả đến hang phần trăm của mét), biết góc nhìn ACD bằng 38 minh họa ở hình bên. Bài 23. Trên mặt biển, khi khoảng cách AB từ ca nô đến chân tháp hải đăng là 250m , một người đứng trên tháp hải đăng đó nhìn về phía ca nô theo phương CA tạo với phương nằm ngang Cx một góc ·ACx 32 . Tính chiều cao của tháp hải đăng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết AB//Cx và độ cao từ tầm mắt của người đó đến đỉnh tháp hải đăng là 3,2m .