Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

1. GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Phương pháp thế Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa 1 ẩn. Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho. Nhận xét: Tùy theo hệ phương trình ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc biểu diễn y theo x * Chú ý: Giải và biện luận phương trình: ax b 0 b - Nếu a 0 x a - Nếu a 0 và b 0 thì phương trình vô nghiệm - Nếu a 0 và b 0 thì phương trình có vô số nghiệm. 2. Phương pháp cộng đại số Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau: Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn. Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho. Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0). B. CÁC DẠNG BÀI TẬP A: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế I. Phương pháp giải: Căn cứ vào quy tắc thế để giải hpt bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm như sau
2. - Từ 1 phương trình của hệ phương trình đã cho (coi như pt thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn). - Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hpt mới tương đương với hệ phương trình đã cho. *) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn thường là 1 và -1 II. Bài toán Bài 1: Giải các hệ phương trình sau x y 5 x 2y 2 a. b. 4x 3y 1 2x 4y 4 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 8x 2y 10 3x 4y 2 0 a. b. 4x y 3 5x 2y 14 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế 2x y 3 x 3y 2 a) b) x 2y 4 2x 5y 1 4x y 1 x y 2 c) d) 7x 2y 3 2x 2y 8 2x y 3 x y 2 e) f) 4x 2y 4 3x 3y 6 x 3y 1 3x y 3 g) h) 3x 9y 3 2x 3y 5 Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế 3x 12y 5 2x 4y 5 a) b) x 4y 3 x 2y 1 12x 4y 16 x 3y 4 c) d) 3x y 4 2x 6y 8 2x y 5 x 3y 2 e) f) 3x 2y 11 2x 5y 1 Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
3. 3x x 2 2y 0 2 a. y 3 b. x y 2y 5 x y 1 0 2 3 2 Bài 6: Giải các hệ phương trình sau ( 2 1)x y 2 x 2y 3 a) b) x ( 2 1)y 1 2x 2y 6 Bài 7: Giải các hệ phương trình sau x 5 y 6 5 x y 2 0 a) b) 3 x 2 3y 5 2 x 1 5 y 1 5 Bài 8: Giải các phương trình sau bằng phương pháp thế 5x 3 y 2 2 2.x 3.y 1 a) b) x 6 y 2 2 x 3.y 2 Bài 9: Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế 2x 3y 1 x 2 2y 5 a) b) x 3y 2 2x y 1 10 2 1 x y 2 c) x 2 1 y 1 Bài 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế x 5y 0 1 2 3 x 3y 2 5 3 1 a) b) 5x 3y 1 5 2 4x y 4 2 3 2 2x y 3 Bài 11: Cho hệ phương trình 2 , trong đó m là số đã cho. Giải hệ 2m x 9y 3 m 3 phương trình tròn mỗi trường hợp sau a) m 2 b) m 3 c) m 3 Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn I. Phương pháp giải - Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được.
4. II. Bài toán Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 5 x 2y 3 x y 99 (x 1)(y 1) xy 1 a. b. x 3y 7x 4y 17 x 3 y 3 xy 3 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 3(y 5) 2(x 3) 0 a. 7(x 4) 3(x y 1) 14 0 (x 1)(y 1) (x 2)(y 1) 1 b. 2(x 2)y x 2xy 3 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau 2x 3 1 a. 3y 2 3(3y 2) 4(x 2y) 0 (x 2)(6y 1) (2x 3)(3y 1) b. (2x 1)(12y 9) (4x 1)(6y 5) 2x 3y x y 1 2x y 1 4 5 Bài 4: Giải hệ phương trình sau: 4x y 2 2x y 3 x y 1 4 6 3 Bài 5: Giải các hệ phương trình sau 2x 2 3y 14 ( 3 1)x y 3 a. b. 3 3x 2y 3(4 3 2) x ( 3 1)y 1 Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ I. Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau Bước 1: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới ở dạng cơ bản (tìm điều kiện của ẩn phụ nếu có). Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, từ đó tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho. II. Bài toán Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 1 1 1 2 1 3 x y 12 x 2y y 2x a. b. 8 15 4 3 1 1 x y x 2y y 2x
5. 5 2 8 x y 3 x y 1 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 3 1 3 x y 3 x y 1 2 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau 4 5 5 3 1 1 x y 1 2x y 3 2 5x y 10 a. b. 3 1 7 3 3 1 x y 1 2x y 3 5 4x 4y 12 Bài 4: Giải các hệ phương trình sau x 1 3 y 2 2 a. (x 1; y 2) 2 x 1 5 y 2 15 4 x 3 9 y 1 2 b. (x 3; y 1) 5 x 3 3 y 1 31 2 2(x 2x) y 1 0 c. (y 1) 2 3(x 2x) ( 2 y 1) 7 2 2(x 2x) y 1 0 Bài 5: Giải các hệ phương trình sau: 2 3(x 2x) ( 2 y 1) 7 Bài 6: Giải các hệ phương trình sau 7 4 5 x 7 y 6 3 a. (x 7; y 6) 5 3 13 x 7 y 6 6 5 x 1 3 y 2 7 4x2 8x 4 0 b. ĐK : 2 2 2 2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13 y 4y 4 0 Bài 7: Giải các hệ phương trình sau 7x2 13y 39 2x2 y2 10 a. b. 2 2 2 5x 11y 33 x 2y 5 (x 3)2 2y3 6 c. 2 3 3(x 2) 5y 7 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
6. I. Cách giải: Ta thường sử dụng các kiến thức sau ax0 by0 c - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm x0 ; y0 a ' x0 b' y0 c ' - Đường thẳng d : ax by c đi qua điểm M x0; y0 ax0 by0 c II. Bài toán 4x ay 6 Bài 1: Xác định các hệ số a và b , biết rằng hệ phương trình sau: I có bx 2ay 8 nghiệm là: a) 1; 1 b) 2; 3 (3a b)x (4a b 1)y 35 Bài 2: Cho hệ phương trình: . bx 4ay 29 Tìm các giá trị của a,b để hệ phương trình có nghiệm 1; 3 Bài 3: Biết rằng: Đa thức P x chia hết cho đa thức x a khi và chỉ khi P a 0 Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x 2 và x 1: P x mx3 m 5 x2 2n 1 x 3n Bài 4: Cho hai đường thẳng d1 :mx 2 3n 2 y 6; d2 : 3m 1 x 2ny 56. Tìm các giá trị của tham số m và n để d1,d2 cắt nhau tại điểm I 2; 5 Bài 5: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh 2x y 5m 1 Cho hệ phương trình: , m là tham số x 2y 2 a. Giải hệ phương trình khi m 1 b. Tìm m để hệ có nghiệm x, y thỏa mãn x2 2y2 1 (m 1)x y m(1) Bài 6: Cho hệ phương trình: , m là tham số, giả sử hệ có nghiệm duy x (m 1)y 2(2) nhất x, y a. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m b. Tìm giá trị của m thỏa mãn 2x2 7y 1
7. 2x 3y c. Tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức nhận giá trị nguyên. x y (2m 1)x 3y 3m 2 (1) Bài 7: Cho hệ phương trình: (m 3)x (m 1)y 2m (2) a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn x 2y c. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x; y sao cho P x2 3y2 đạt giá trị nhỏ nhất BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau bằng phương pháp thế x y 3 7x 3y 13 a) b) 3x 4y 2 4x y 2 0,5x 1,5y 1 c) x 3y 2 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế 3 1 x y 2 x 2y 0 4 2 a) b) 3x 2y 8 3 x y 4 2 4x 2y 1 c) 2x y 0 Bài 3: Giải hệ phương trình 3x y 3 x y 3 a) b) 2x y 7 3x 4y 2 4x 5y 2 3x y 3 c) d) 2x y 8 3y 5 Bài 4: Giải các hệ phương trình sau x 2y 2 2x y 5 a) b) 5x 4y 11 2x y 11 3x y 2 c) 6x 2y 4 Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
8. 4x y 2 x y 2 0 a) 4 1 b) x y 1 2x y 2 3 3 3 5x 3 y 2 2 2 x y 3 x y 4 c) d) x 6 y 2 2 x y 2 x y 5 Bài 6: Giải các hệ phương trình sau 2 3x 3 5y 21 a. 4x 2 3y 2 3(2 5) (x 1)2 (y 2)2 (x 1)2 1 (y 1)2 b. 2 2 (x y 3) (x y 1)