Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Độ dài cung tròn. Diện tích hình quat tròn, hình vành khuyên

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Độ dài cung tròn. Diện tích hình quat tròn, hình vành khuyên

1. ĐỘ DÀI CUNG TRÒN. DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT TRÒN, HÌNH VÀNH KHUYÊN A. KIẾN THỨC 1. Độ dài của cung tròn * Người ta chứng minh được rằng tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng một số vô tỉ không đổi gọi là (đọc là pi). Ta có thể tìm được giá trị gần đúng của nhờ máy tính cầm tay. Trong đời sống, ta thường lấy 3,14 . Do đó, ta có công thức tính độ dài C của đường tròn O; R , đường kính d 2R là: C d 2 R (1) Ta có công thức tính độ dài l của cung n trên đường tròn O; R là: Rn l (2) 180 n n l n * Nhận xét: Từ hai công thức (1) và (2), ta được: l d C hay , nghĩa 360 360 C 360 n là tỉ số giữa độ dài cung n và độ dài đường tròn (cùng bán kính) đúng bằng 360 2. Hình quạt tròn và hình vành khuyên + Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó (hình a) + Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn có cùng tâm và bán kính khác nhau (còn gọi là đường tròn đồng tâm) (hình b). + Hình viên phân là phần hình tròn được giới hạn bởi một cung và dây căng cung (hình c) + Diện tích Sq của hình quạt tròn bán kính R ứng với cung n là: n l  R S R2 (3) q 360 2 + Diện tích Sv của hình vành khuyên được tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính R và r 2 2 Sv R r (với R r ) (4)
2. n S n l * Nhận xét: Công thức (3) có thể viết là S S hay q , nghĩa là tỉ số giữa q 360 S 360 C diện tích hình quạt tròn ứng với cung n và diện tích hình tròn (cùng bán kính) đúng n bằng và bằng tỉ số giữa độ dài cung n và độ dài đường tròn. 360 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài đường tròn, cung tròn hoặc các đại lượng liên quan Bài 1: a) Tính chu vi đường tròn biết đường kính là 5 cm b) Tính độ dài cung 120 của đường tròn bán kính 4cm. Bài 2: Tính độ dài cung 40 của đường tròn bán kính 9 cm. Bài 3: Tính độ dài cung 30 của đường tròn bán kính 10cm. Bài 4: Tính độ dài cung 72 của đường tròn bán kính 25 cm. (Lấy theo máy tính và làm tròn kết quả đến hàng trăm phần trăm) Bài 5: Cung có số đo 100 của đường tròn bán kính 8 cm dài bao nhiêu centimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? R Bài 6: Cho đường tròn O; R độ dài »AB là . Tính sđ »AB 4 Bài 7: Cho A và B là hai điểm trên đường tròn O;3cm sao cho ·AOB 120 . Tính số đo và độ dài các cung có hai mút A, B. Bài 8: Một chất điểm chuyển động trên một đường tròn có bán kính r 0,3 m với tốc độ không đổi. Chất điểm chuyển động hết một vòng quanh đường tròn đó trong 20 s. Tính tốc độ của chất điểm (theo đơn vị mét trên giây và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Bài 9: Tính độ dài của đoạn hàng rào từ A đến B của sân cỏ trong hình bên, cho biết ·AOB 80 Bài 10: Một con lắc di chuyển từ vị trí A đến vị trí B. Tính độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển, biết rằng sợi dây OA có độ dài bằng l và tia OA tạo với phương thẳng đứng góc . Bài 11: Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có dường kính 650mm . Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng 3,3 vòng. Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đạp xe đạp 10 vòng liên tục? Hướng dẫn: Khi bánh xe quay 3,3 vòng thì mỗi điểm trên bánh xe di chuyển được một độ dài bằng 3,3 lần chu vi đường tròn.
3. Bài 12: Cho nửa đường tròn đường kính AB . Trong đoạn thẳng AB lấy hai điểm M , N ( M nằm giữa A và N ). Vẽ các nửa đường tròn đường kính AM , MN , NB . Chứng minh tổng của ba đường tròn đường kính AM , MN , NB bằng độ dài nửa đường tròn đường kính AB Dạng 2: Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và những yếu tố liên quan Bài 1: a) Tính diện tích hình quạt tròn bán kính 5 cm b) Tính diện tích hình quạt tròn bán kính 6cm có số đo cung là 60 Bài 2: Bề mặt phía trên của một chiếc trống có dạng hình tròn bán kính 8cm . Diện tích bề mặt phía trên của trống đó bằng bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Bài 3: Tính diện tích hình quạt tròn bán kính 5cm và có độ dài cung tương ứng với nói bằng 4 cm Bài 4: Tính diện tích hình quạt tròn bán kính R 10cm , ứng với cung 60 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của cm2 ). Bài 5: Tính diện tích hình quạt tròn bán kính R 20cm , ứng với cung 72 . Bài 6: Tính diện tích của miếng bánh pizza có dạng hình quạt tròn trong hình bên. Biết OA 5cm và ·AOB 55 Bài 7: Cho hình quạt tròn AOB giới hạn bởi hai bán kính OA , OB và cung AmB sao cho OA OB . Hãy tìm số đo cung AmB ứng với hình quạt tròn đó. Bài 8: Cho hình quạt tròn COD giới hạn bởi hai bán kính OC , OD và cung CmD sao cho OC OD . Hãy tìm số đo cung CmD ứng với hình quạt đó. Bài 9: Một họa tiết trang trí có dạng hình tròn bán kính 4dm được chia thành nhiều hình quạt tròn, mỗi hình quạt tròn có góc ở tâm là 7,5. Diện tích của mỗi hình quạt đó là bao nhiêu dm 2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Bài 10: Hình quạt ở hình bên có bán kính bằng 2dm và góc ở tâm bằng 150 a) Tính diện tích của hình quạt đó theo đơn vị decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). b) Tính chiều dài cung tương ứng với hình quạt đó. Dạng 3: Tính diện tích hình vành khăn, hình viên phân và những yếu tố liên quan Bài 1: Tính diện tích của hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m
4. Bài 2: Tính diện tích của hình vành khuyên, biết hình vành khuyên đó giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 2,5cm ; 2cm Bài 3: Tính diện tích của hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn O;5cm và O;8cm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) Bài 4: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn O;10cm và O;20cm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) Bài 5: Hình bên mô tả mặt cắt của khúc gỗ có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 4dm và 3dm . Diện tích mặt cắt đó là bao nhiêu decimet vuông (làm tròn đến hàng phần mười)? Bài 6: Một tấm bìa tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính 5cm , 10cm , 15cm , 20cm và 30cm . Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng 8 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba). Biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích của hình vành khuyên tương ứng với diện tích của hình tròn lớn nhất. Bài 7: Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn O;r và O; R với R r . Trên đường tròn O; R lấy hai điểm B, C sao cho BC vừa là dây cung của O; R , vừa vuông góc với bán kính của đường tròn O;r tại A (hình vẽ bên) a) Tính độ dài đoạn thẳng BC theo r và R. b) Cho BC a 3 . Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn O;r và O; R theo a . Bài 8: Phần hình tròn được giới hạn bởi một cung và dây căng cung đó gọi là hình viên phân. Tính diện tích hình viên phân AmB , biết góc ở tâm ·AOB 60 và bán kính đường tròn là 5,1cm (hình vẽ bên) (kết quả làm tròn dến hàng phần trăm của cm2 ). Bài 9: Hình viên phân là hình giới hạn bởi một cung tròn và dây cung (tương ứng) của đường tròn (minh họa bởi phần tô đậm ở hình a). Nguoiwf ta làm một họa tiết trang trí bằng cách ghép hai hình viên phân bằng nhau (hình b), mỗi hình viên phân đó có góc ở tâm tương ứng là 90 và bán kính đường tròn tương ứng là 2dm (hình c). Tính diện tích của họa tiết trnag trí đó (theo đơn vị centimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Bài 10: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn O;2cm . Tính diện tích phần hình tròn nằm bên ngoài hình lục giác. Bài 11: Cho đường tròn O; R nội tiếp hình vuông ABCD và ngoại tiếp hình vuông MNPQ . Biết rằng BD 12cm . Tính diện tích phần tô đen.
5. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính độ dài các cung 30 ; 90 ; 120 của đường tròn O;6cm Bài 2: Một máy kéo nông nghiệp có đường kính bánh xe sau là 124cm và đường kính bánh xe trước là 80cm . Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì bánh xe trước lăn được bao nhiêu vòng? Bài 3: Thành phố Đà Lạt nằm vào khoảng 1158 vĩ độ Bắc. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40000 km . Hãy tính độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo. Bài 4: Cho đường tròn O;4cm và ba điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và số đo của cung nhỏ BC bằng 70 a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau b) Tính độ dài của các cung BC , AB và AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Bài 5: Cho đường tròn O : R và một dây cung AB a) Nếu biết sđ »AB 90 . Tính chu vi hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB 5 R b) Nếu độ dài cung AB là . Tính số đo góc ·AOB 6 Bài 6: Quan sát các hình sau a) Tính diện tích phần được tô màu trong mỗi hình đó b) Tính độ dài cung tròn được tô màu xanh ở mỗi hình a , b Bài 7: Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có số đo lần lượt là 30 ; 90 ; 120 của hình tròn O;12cm Bài 8: Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có độ dài lần lượt là 8cm , 15cm của hình tròn O;5cm . Bài 9: Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 4cm , ứng với cung 36 Bài 10: Có hai chiếc bánh Pizza hình tròn. Chiếc bánh thứ nhất có đường kính 16cm được cắt thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai có
6. đường kính 18cm được cắt thành 8 miếng đều nhau và có dạng hình quạt tròn. Hãy so sánh diện tích bề mặt của hai miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và thứ hai. Bài 11: Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikings sử dụng hai loại nêm nêm góc và nêm cong (làn lượt tô màu xanh, màu đỏ trong hình a). Mắt cắt ABCD của nêm góc có dạng hai tam giác vuông OAE , ODE bằng nhau với cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt tròn OBC (hình b), được làm từ những thân cây mọc thẳng. Mặt cắt MNPQ của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (hình c), được làm từ những chiếc thân cây cong. Kích thước của nêm cong được cho như hình c. a) Diện tích của hình nêm cong là bao nhiêu centimét vuông (lấy 1ft 30cm , 1in 2,54cm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? b) Cần phải biết những kích thước nào của nêm để tính được diện tích của nêm đó? Bài 12: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn O;9cm và O;12cm Bài 13: Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 6cm và 4cm Bài 14: Hình bên mô tả mặt cắt của một chiếc đèn led có dạng hai hình vành khuyên màu trắng với bán kính các đường tròn lần lượt là 15cm , 18cm , 21cm , 24cm . Tính diện tích hai hình vành khuyên đó. Bài 15: Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có dạng nửa hình tròn bán kính 2,2dm như hình bên. Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,6dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của dm 2 Bài 16: Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 55cm và cung có số đo là 95
7. Bài 17: Hình dưới mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: Hai nửa đường tròn đường kính 2cm ; hai hình chữ nhật kích thước 2cm x8cm ; một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4dm và 6dm . Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó. Bài 18: Cho đường tròn O; R R a) Tính ·AOB biết độ dài cung AB là 3 b) Trên cung lớn AB lấy điểm C sao cho AOC vuông cân tại O . Tính độ dài »AC , B»C lớn. Bài 19: Cho đường tròn đường kính AB . Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M . Giả sử AM 1cm , CD 2 3cm a) Tính độ dài đường tròn b) Tính độ dài cung C¼AD Bài 20: Tính chu vi hình vẽ bên, biết OA 4cm s®B»C s®C»A s®»AB Bài 21: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; R . Biết rằng . 1 2 3 Gọi a , b , c lần lượt là các đường tròn đường kính BC , CA , AB . Chứng minh a b c rằng: 1 3 2 Bài 22: Cho tam giác ABC đèu nội tiếp đường tròn O;6cm . Vẽ bên ngoài tam giác ABD vuông cân tại D . Các đường thẳng AD , DB lần lượt cắt đường tròn O tại M , N . Tính độ dài cung nhỏ AM , BN , MN và MC Bài 23: Cho hình tròn O;3cm và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB tới đường tròn. Biết ·AMB 60 . Tính diện tích hình giới hạn bởi MA , MB và cung nhỏ AB Lời giải Ta có ·AMB 60 nên ·AOB 120 1 MA , MB là tiếp tuyến của đường tròn nên: Oµ O¶ ·AOB 60 1 2 2
8. Ta có: MA AO  tan ·AOM 3 3 cm . Diện tích tú giác MAOB là: 1 S 2 S 2  MA AO 1 AOM 2 3 3 3 9 3 cm2 2 R n 9120 2 Diện tích hình quạt OAB là: Sq 3 cm 360 360 Vì diện tích hình giới hạn bởi MA , MB và cung nhỏ AB là: 2 S S1 Sq 9 3 3 3 3 3 cm Bài 24: Cho hình vẽ. Biết rằng ·AOB 90 ; OA OB 6cm . Tính diện tích phần tô đen. Bài 25: Trên đường tròn O; R có hai điểm A, B sao cho s®M¼N s®»AB 60 . Trên O ; R có hai điểm C , D sao cho s®C»D 45 . Biết rằng với hai cung nhỏ AB và CD có độ dài bằng nhau. Tính tỉ số diện tích hai hình tròn O; R và O ; R . Bài 26: Một mục tiêu bắn súng hình tròn gồm các cành có bề rộng 1cm như hình vẽ. Bán kính đường tròn trong cùng là 1cm . Vậy diện tích vòng ngoài cùng lớn gấp mấy lần diện tích hình tròn trong cùng? Bài 27: Cho đường tròn O; R . Kẻ hai đường kính vuông góc với nhau AB và CD . Lấy C làm tâm, vẽ cung AB ở trong đường tròn O , cung này cắt CD ở E a) Tính diện tích hình lưỡi liềm ADBEA b) So sánh diện tích hình ADBEA và diện tích ABC . Bài 28: Cho tam giác đều, hình vuông và hình tròn có cùng chu vi. Hỏi diện tích hình nào lớn nhất?