Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Cung và dây của 1 cung

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Cung và dây của 1 cung

1. CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT CUNG A. KIẾN THỨC 1. Dây và đường kính của đường tròn + Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn + Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Dễ thấy đường kính của đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R * Lưu ý: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. 2. Góc ở tâm, cung và số đo của một cung * Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn + Khi góc ·AOB không bẹt thì cung nằm trong góc ·AOB gọi là cung nhỏ. Khi đó cung ·AmB còn có thể ký hiệu là cung »AB . Cung còn lại ¼AnB gọi là cung lớn. Khi ·AOB bẹt thì mỗi cung »AB gọi là nửa đường tròn. + Ta còn nói góc ·AOB chắn cung »AB hay cung »AB bị chắn bởi góc ·AOB . + Số đo của một cung được xác định như sau - Số đo của nửa đường tròn bằng 180 - Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó - Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ có chung hai mút. + Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ »AB . Trên hình vẽ ta có: sđ ¼AmB ·AOB ; sđ ¼AnB 360 + Cung có số đo n còn gọi là cung n. Cả đường tròn được coi là cung 360. Đôi khi ta cũng coi điểm là cung n + Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo. * Nhận xét: Nếu A là một điểm thuộc cung B¼AC thì sđ B¼AC sđ B»A sđ »AC B. Các dạng toán Dạng 1: So sánh hai đoạn thẳng Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N . Chứng minh rằng MN BC
2. Bài 2: Bạn Mai căng ba đoạn chỉ AB , CD , FE có độ dài lần lượt là 16cm, 14cm và 20cm trên một khung thêu hình tròn bán kính 10cm. Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn. Bài 3: Cho đường tròn (O) có các dây AB , CD , FE . Cho biết AB và CD đi qua tâm I , FE không đi qua I . Hãy so sánh độ dài AB , CD , FE . Bài 4: Trong hình vẽ, so sánh độ dài các đoạn thẳng OC , PQ với AB . Bài 5: Cho đường tròn đường kính BC . Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) nằm trên đường tròn, ta đều có BC AB AC 2BC . Bài 6: Trong một trò chơi, hai bạn Thủy và Tiến cùng chạy trên một đường tròn tâm O có bán kính 20m . Có thời điểm nào dây AB nối vị trí của hai bạn đó có độ dài bằng 41m không? Vì sao? Bài 7: Tứ giác lồi ABCD có B· AC B· DC 90 . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trên một đường tròn và AD BC Bài 8: Cho đường tròn tâm O bán kính R 5cm, dây AB 8cm. Gọi I là điểm trên dây AB sao cho AI 1cm. Kẻ dây CD qua điểm I và vuông góc với dây AB . Chứng minh rằng AB CD Bài 9: Trong các góc AOB,CID, MON ở hình sau, góc nào là góc ở tâm, góc nào không là góc ở tâm. Bài 10: Trong hình bên, hãy cho biết: a) Cung AmB bị chắn bởi góc ở tâm nào? b) Góc ở tâm AOC chắn cung nào? Bài 11: Cho tam giác MNP có ba đỉnh nằm trên đường tròn (I) . Xác dịnh các góc ở tâm của đường tròn. Bài 12: Cho ba điểm A, B và C thuộc đường tròn (O) như hình bên a) Tìm các góc ở tâm có hai cạnh đi qua hai trong ba điểm A, B, C b) Tìm các cung có hai mút là hai trong ba điểm A, B, C . Dạng 2: Tính số đo góc ở tâm, số đo cung tròn. Bài 1: Tính số đo góc ở tâm được tạo thành khi kim giờ quay a) Từ 7 giờ đến 9 giờ. b) Từ 9 giờ đến 12 giờ. Bài 2: Trong hình vẽ sau, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giừo, kin phút là các tia số. Số đo góc ở tâm trong mỗi hình a , b , c , d là bao nhiêu? Lời giải
3. Bài 3: Tính số đo các cung ¼AMB và ¼AnB trong hình vẽ bên. Lời giải Bài 4: Trong hình vẽ sau, coi mỗi vành đồng hồ là một đường tròn. Tìm số đo của cung nhỏ AB và cung lớn CD . Lời giải Bài 5: Trên cung AB có số đo 90 của đường tròn O , lấy điểm M sao cho cung AM có số đo 15 . Tính số đo của cung MB . Lời giải Bài 6: Cho đường tròn (O) có hia đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Xác định số đo cảu các cung »AB , »AC , »AD . Lời giải Bài 7: Xác định số đo cung AB trong hình ngôi sao năm cánh.
4. Lời giải Bài 8: Cho hình vuông ABCD . Gọi O là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C , D . a) Tính số đo góc ở tâm ·AOB , B· OC c) Tính số đo cung nhỏ AB , CD . Bài 9: Biểu đồ quạt tròn ở hình bên biểu diễn kết quả thống kê (tính theo tỉ số phần trăm) chọn môn thể thao ưa thích nhất trong bốn môn: Cầu lông, bóng bàn, bóng chuyền, bóng đá của 300 học sinh khối 9 ở một trường THCS (mỗi học sinh chỉ được một môn thể thao khi được hỏi ý kiến). Tìm số đo của các góc ở tâm, ·AOB , C· OD , B· OC , D· OA. Lời giải Bài 10: Tính số đo của các cung có các đầu mút là hai trong các điểm A, B, C trong hình bên, biết rằng ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A. Lời giải Bài 11: Cho C là điểm trên đường tròn (O) . Đường trung trực của đoạn OC cắt (O) tại A và B. Tính số đo của các cung ¼ACB và ¼ABC . Lời giải
5. Dạng 3: Tính độ dài của một dây. Tính khoảng cách từ tâm đến dây Bài 1: Cho đường tròn O;10 . Lấy một điểm A tùy ý thuộc (O) . Vẽ dây MN vuông góc với OA tại trung điểm của OA . Tính độ dài dây MN . Lời giải Bài 2: Cho đường tròn O;R và dây MN R . Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến dây MN . Lời giải BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho tam giác ABC có hai đường cao BB và CC . Gọi O là trung điểm của BC . So sánh độ dài hai đoạn thẳng BC và B C . Lời giải
6. Bài 2: Cho tứ giác ABCD có Bµ Dµ 90. Chứng minh bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trên một đường tròn. So sánh độ dài AC và BD . Lời giải Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn AB đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn 2 Lời giải Bài 4: Quan sát hình bên, hãy cho biết 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chưua hai điểm trong bốn điểm A, B, C , D . Lời giải
7. Bài 5: Trên một chiếc đồng hồ có các vạch chia như hình bên. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thười gian 36 phút: a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ? b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ? Lời giải Bài 6: Kim giừo và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào những thời điểm sau? a) 2 giờ b) 8 giờ c) 21 giờ Lời giải Bài 7: Biểu đồ hình quạt tròn ở hình bên mô tả các thành phần của một chai nước ép hoa quả (tính theo tỉ số phần trăm). Hãy cho biết các cung tương tứng với phần biểu diễn thành phần việt quất, táo, mật ong lần lượt có số đo là bao nhiêu độ. Lời giải
8. Bài 8: Cho đường tròn O;R và dây AB R . Tính số đo góc AOB . Lời giải Bài 9: Cho tam giác đều ABC . Vẽ đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC tại D và E. Chứng minh rằng B»D D»E E»C Lời giải Bài 10: Xác định số đo các cung »AB , B»C , C»A trong hình vẽ sau. Lời giải
9. Bài 11: Cho dây AB của O;R . Tính số đo các cung nhỏ và cung lớn AB trong các trường hợp sau a) AB R b) AB R 2 c) AB R 3 Bài 12: Cho đường tròn AB R 3 O;5cm và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB 6cm a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB . b) Tính tan nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng 2 . Bài 13: Tâm O của một đường tròn cách dây AB của nó một khoảng 3cm . Tính khoảng cách của đường tròn (O) biết rằng cung nhỏ AB có số đo bằng 100 (làm tròn kết quả đến phần mười). Bài 14: Dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung. Cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ. a) Tính số đo mỗi cung b) Chứng minnh khoảng cách OH từ tâm O đến dây cung AB có độ dài bằng AB . 2 Bài 15: Cho đường tròn O;R và một dây cung AB sao cho số đo cung lớn AB gấp đôi số đo cung nhỏ AB . Tính độ dài dây AB . Lời giải