Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Căn bậc hai và căn thức bậc 2

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Căn bậc hai và căn thức bậc 2

1. CĂN BẬC HAI VÀ CĂN THỨC BẬC HAI A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Căn bậc hai: Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho x2 a * Nhận xét: + Số âm không có căn bậc hai + Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0. + Số dương a có đúng căn bậc hai đối nhau là a (căn bậc hai số học của a ) và a . * Tính căn bậc hai của một số a 0 , chỉ cần tính a . Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT. * Tính chất: a2 a với mọi số thực a . * Với hai số a và b không âm ta có: + Nếu a b thì a b + Nếu a b thì a b . 2. Căn thức bậc hai * A xác định khi A lây giá trị không âm và ta thường viết là A 0. Ta nói A 0 là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa của A ). * Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với A là một biểu thức, ta cũng có: 2 + Với A 0 ta có A 0; A A + A2 A B. Các dạng bài tập Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số Bài 1: Tính a) 81 b) 16 c) 1,21 9 d) 0,01 e) 0,81 f) 25 4 1 g) h) 25 4 Bài 2: Tìm căn bậc hai của
2. a) 121 b) 144 c) 64 9 4 d) e) 0,25 f) 16 9 2 2 g) 1,44 h) 5 Bài 3: Tìm căn bậc hai của 121 256 ; 0,04 ; ; 11; 1,6 ; 0,09 36 Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: A 0,09 7 0,36 3 2,25 9 9 Bài 5: Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ: 1 18 16 16 Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn. Tính giá trị của biểu thức I. Phương pháp giải + A xác định khi A 0 1 + xác định khi A 0 A II. Bài toán Bài 6: Tìm điều kiện xác định của mỗi căn thức sau: 1 a) 5 2x b) x2 4x 4 1 c) 25 x2 d) x2 100 Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức M x 4 2 x xác định? Bài 8: Xét căn thức 2x 1 a) Tìm điều kiện xác định của căn thức b) Tính giá trị của căn thức đã cho tại x 0 và x 4 Bài 9: Cho biểu thức A 5 2x a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định
3. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 2 và khi x 3 Bài 10: Với giá trị nào của x thì biểu thức A 3x 6 xác định? Tính giá trị của A khi x 5 (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Dạng 3: Tính toán, rút gọn biểu thức dạng A2 I. Phương pháp giải 2 AnÕu A 0 Vận dụng hằng đẳng thức A A AnÕu A 0 II. Bài toán Bài 11: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 62 b) 5 2 2 c) 162 d) 12 2 2 2 e) 0,36 f) 5 1,21 2 g) 3 2 3 h) 9 9 2 Bài 12: Rút gọn các biểu thức sau 2 2 a) 1 2 b) a 5 với a 3 c) a6 với a 0 Bài 13: Không sử dụng MTCT, tính: 2 2 2 a) 16 8 0,16 b) 5 5 1 2 c) 1 2 1 2 d) 3 2 2 6 4 2 Bài 14: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A 4 2 3 b) B 8 2 15 c) 9 4 5 Bài 15: Rút gọn các biểu thức sau 1 a) A x4 x6 b) B x2 x 4
4. Bài 16: Rút gọn các biểu thức sau a) A 1 2x x2 với x 2 2 b) B 1 x với x 0 Bài 17: a) Rút gọn biểu thức x x6 ( x 0 ) b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức x 4x2 4x 1 tại x 2,5 Bài 18: Cho biểu thức P 3x x2 10x 25 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x 2 Bài 19: Cho biểu thức Q 2x x2 2x 1 a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị của x khi Q 7 Bài 20: Rút gọn các biểu thức sau: a) x 2 x 1 b) x 2 2 x 1 Dạng 4: Bài toán so sánh, bài toán tìm x I. Phương pháp giải + Với a,b 0 ta có: Nếu a b thì a b + Với a 0 , ta có: x2 a khi x a x a khi x a2 x a khi 0 x a2 II. Bài toán Bài 21: Không sử dụng MTCT, hãy so sánh: a) 3 và 5 b) 3 với 10 c) 8 và 65 Bài 22: Không sử dụng MTCT, hãy so sánh 15 1 và 10
5. Bài 23: Với a 0 thì số nào lớn hơn trong hai số a và 2a Bài 24: Tìm x biết a) 3x2 0,75 b) 2 3x 12 1 c) 5x 10 2 Bài 25: Tìm x biết 16 a) x2 b) x2 4 2 3 9 2 1 c) x 1 d) x2 1 6 2 6 9 Bài 26: Tính tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức x2 25 13 Bài 27: Tìm x , biết x2 6x 9 7x 13 Dạng 5: Bài toán thực tế Bài 28: Trong một thí nghiệm, một vật rơi tự do từ độ cao 80m so với mặt đất. Biết quãng đường dịch chuyển được của vật đó tính theo đơn vị mét được cho bởi công thức h 5t 2 với t là thời gian vật đó rơi, tính theo đơn vị giây t 0 . Hỏi sau bao nhiêu lâu kể từ lúc rơi thì vật đó chạm đất? Bài 29: Biết rằng hình A và hình vuông B trong hình 2 có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh x của hình vuông B. Bài 30: Vận dụng trở lại tính huống mở đầu. Trong vật lí, quãng đường S (tính bằng mét) của một vật rơi tự do được cho bởi công thức S 4,9t 2 , trong đó t là thời gian rơi (tính bằng giây). Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả roi tự do từ độ cao 122,5 mét? a) Viết công thức tính thời gian t (giây) càn thiết để vật rơi được quãng đường S (mét) b) Sử dụng công thức tìm được trong câu a), hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu. Bài 31: Để lái xe an toàn khi đi qua đoạn đường có dạng cung tròn, người lái cần biết tốc độ tối đa cho phép là bao nhiêu. Vì thế, ở những đoạn đường đó thường có bảng chỉ dẫn cho tốc độ tôi đa cho phép của ô tô. Tốc độ tối đa cho phép v m/s được tính bởi công thức v rgu , trong đó r m là bán kính của cung đường, g 9,8m / s2 , u 0,12 là hệ số
6. am sát trượt của đường. Tính tốc độ tối đa cho phép v m/s để lái xe an toàn khi đi qua đoạn đường có dạng cung tròn với bán kính r 400m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Bài 32: Một trạm phát sóng được đặt ở vị trí B cách đường tàu một khoảng AB 300 m . Đầu tàu đang ở vị trí C , cách vị trí A một khoảng AC x m . a) Viết biểu thức biểu thị khoảng cách từ trạm phát sóng đến đầu tàu. b) Tính khoảng cách trên khi x 400 , x 1000 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét). Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có chứa căn Bài 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) A 5 x2 3x 9 b) B x2 7x 5 c) C x2 7x 6 25 d) D 8 x2 3x 4 Bài 34: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a) A 15 x2 4x 13 b) B 12 x2 2x 1 c) C 11 x2 7x 4 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính a) 100 b) 225 16 c) 2,25 d) 225 Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) 9 a) 24,5 b) 10 Bài 3: Tìm căn bậc hai của a) 289 b) 0,81 49 c) 1,69 d) 121 Bài 4: Tìm căn bậc hai của a) 16 b) 2500 4 c) d) 0,09 81 Bài 5: Sử dụng MTCT, tính (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)
7. a) 54 b) 24,68 c) 5 6 7 Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức 2 2 2 a) 5,25 1,75 b) 102 982 Bài 7: Tính a) 5,12 b) 4,9 2 c) 0,001 2 Bài 8: Tính 2 2 4 a) 0,4 b) 9 2 c) 2 32 6 Bài 9: Rút gon các biểu thức sau: 2 a) 2 5 b) a2 3a 2 với a 0 Bài 10: Tính 2 2 2 a) 10 b) 7 2 2 2 c) 2 25 d)  0,09 3 Bài 11: Tìm x , biết: a) x2 121 b) 4x2 9 c) x2 10 Bài 12: Tìm x , biết: a) 5x2 80 b) 2 x 1 c) 3x 6 Bài 13: Tìm x , biết:
8. a) x2 10x 25 2 b) x2 3x 2 c) 4x2 12x 9 x 7 Bài 14: Tìm các giá trị của x sao cho x x Bài 15: So sánh 4 3 a) và b) 0,48 và 0,7 3 4 Bài 16: Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 1 3 1 a) 26 3 và 63 b) và 2 2 Bài 17: Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc hai sau a) x 6 b) 17 x 1 c) x Bài 18: Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc hai sau a) 4x b) x 3 c) x 1 d) x2 1 Bài 19: Tìm điều kiện xác định của x 10 và tính giá trị của căn thức tại x 1 Bài 20: Tìm x để các căn thức bậc hai sau xác định 2 a) b) x2 2x 1 9 x c) x2 4x Bài 21: Tìm x để các căn thức bậc hai sau xác định 1 a) 9 x2 b) x2 4 1 x c) x 2 x 3 Bài 22: Cho biểu thức P b2 4ac . Tính giá trị của P khi a) a 3, b 10 , c 3 b) a 2 , b 6 , c 5 Bài 23: Cho biểu thức P a2 b2 . Tính giá trị của P khi
9. a) a 5 , b 0 b) a 5 , b 5 c) a 2 , b 4 Bài 24: Tính giá trị của x2 9 tại a) x 5 b) x 7 c) x 10 Bài 25: Tính giá trị của 2x2 1 tại a) x 2 b) x 12 Bài 26: Tính gí trị của mỗi căn thức bậc hai sau a) 17 x2 tại x 1; x 3; x 2 2 b) x2 x 1 tại x 0 ; x 1; x 7 Bài 27: Chứng minh 2 3 2 3 1 Bài 28: Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức A có giá trị là số nguyên. 2 2 A 1 2 2 1 2 2 Bài 29: Tính giá trị của các biểu thức sau khi x 16 ; y 9 a) x y b) x y 1 1 c) xy d) x y 2 6 Bài 30: Cho biểu thức P x2 xy 1 . Tính giá trị của P khi a) x 3; y 2 b) x 1; y 4 Bài 31: Tính độ dài cạnh huyền của mỗi tam giác vuông trong hình vẽ sau
10. Bài 32: Rút gọn các biểu thức sau: 2 a) 2 5 b) 3 x2 x 1 (với x 0 ) c) x2 4x 4 (với x 2 ) Bài 33: Rút gọn các biểu thức sau: 2 a) 3 10 b) 2 a2 4a (với a 0 ) c) a2 3 a 2 (với 0 a 3 ) Bài 34: Rút gọn các biểu thức sau: a) 9 4 5 b) 3x x2 2x 1 Bài 35: Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng 2m2 . Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét? Bài 36: Đại Kim tự tháp Ai Cập lớn nhất và là lăng mộ của Vương triều thứ Tư của Pharaoh Khufu. Nền kim tự tháp có dạng hình vuông với diện tích khoảng 53052m2 . Hỏi độ dài cạnh nền của kim tự tháp đó là bao nhiêu mét (làm tròn đến kết quả đến hàng phần mười)? Bài 37: Giông bão thổi mạnh, một cây bị gãy gặp xuống làm ngọn cây chạm đất và tạo với phương nằm ngang một góc 45 (hình vẽ). Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây là 4,5m . Giả sử cây mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây đó theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Bài 38: Có hai xã A, B cùng ở bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA 500m , BB 600m và người ta đo được A B 2200m . Các kĩ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạnh nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Giả sử vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó là điểm M trên đoạn A B với MA x m , 0 x 2200 (hình vẽ) Bài 39: Trên cần trục ở hình vẽ 5, hai trụ a và b đứng cách nhau 20m , hai xà ngang c và d lần lượt có độ cao 20m và 45m so với mặt đất. Xà chéo x có độ dài bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
11. Bài 40: Hệ quả của hiện tượng nóng lên toàn cầu là bằng của một số sông băng đang tan chảy. Mười hai năm sau khi băng biến mất, những loài thực vật nhỏ bé, được gọi là địa y, bắt đầu mọc trên đá. Mỗi nhóm địa y phát triển ở dạng (gần như) một hình tròn. Đường kính d mm của hình tròn này và tuổi của địa y có thể được tính gần đúng bằng công thức d 7 t 12 với t là số năm tính từ khi băng biến mất t 12 . Tính đường kính của hình tròn do địa y tạo nên sau khi băng biến mất 13 năm; 16 năm.