Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức

1. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn Nếu a là một số và b là một số không âm thì a2b a b . * Khi tính toán với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (tức là biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu). Ví dụ: a) 32 2 32  2 3 2 3 2 b) 5 2 7 5 2  7 5  7 5 7 c) x2 y (với x 0, y 0) x2  y x y x y d) x3 y2 (với x 0, y 0) xy 2 x xy 2  x xy x xy x 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn + Nếu a và b là hia số không âm thì a b a2b + Nếu a là số âm và b là số không âm thì a b a2b . Ví dụ: 2 1 1 1 a) 8 8 8 2 2 2 4 b) 3 5 32 5 45 1 c) x (với x 0 ) x 1 x2  x x
2. 2 d) y (với y 0 ) 3y 2 2 y2  y 3y 3 3. Trục căn thức ở mẫu A A B + Với các biểu thức A, B và B 0 , ta có B B + Với các biểu thức A, B, C mà A 0, A B2 , ta có: C C A B C C A B ; A B A B2 A B A B2 + Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B 0, A B2 , ta có: C C A B C C A B ; A B A B A B A B 4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu). B. Bài tập Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn I. Cách giải: Để đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta có 2 bước: Bước 1: Chia các số trong căn thành các số chính phương 4, 9, 16, 25, 36,... Bước 2: Dùng công thức: Với B 0, ta có: 2 2 A B khi A 0 A B A  B A  B A B khi A 0 II. Bài toán Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a) 45 b) 2400 c) 147 d) 1,25 e) 12 f) 3 27 g) 5 48 h) 45
3. Bài 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a) 506 b) 1421 c) 3245 d) 12527 Bài 3: Viết gọn các biểu thức sau a. 25.90 b. 96.125 c. 75.54 d. 245.35 Bài 4: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a) 18x b) 75x2 y c) 605x3 y2 d) 128 x y 2 e) 150 4x2 4x 1 f) x3 6x2 12x 8 Bài 5: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a. 27x2 x 0 b. 8xy2 x 0; y 0 c. 25x3 x 0 d. 48xy4 x 0; y R Bài 6: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a. 32a với a 0 b. 75a với a 0 c. 80a2 với a 0 d. 1512a2 với a 0 e. 28x2 y4 với x 0 f. 54x4 y2 với y 0 g. 125 x 1 3 h. 192 x 3 5 Dạng 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn I. Cách giải: Để đưa thừa số vào trong dấu căn, ta có 2 bước: Bước 1: Viết biểu thức thành A2 (với A 0) Bước 2: Dùng quy tắc nhân các căn bậc hai: + A B A2  B A2  B (với A 0, B 0) + Nếu A 0 thì đặt dấu trừ ở ngoài căn A B A2  B A2  B (với A 0, B 0)
4. II. Bài toán Bài 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn a) 3 5 b) 5 6 2 c) 35 d) 5 3 7 e) 5 2 f) 2 7 1 g) 4 h) 0,06 250 8 Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn 3 a) 2 a a 0 b) 2a (với a 0 ) 10a 3 1 c) x (với x 0 ) d) x (với x 0 ) x x Bài 3: Chỉ ra chỗ sai trong các biến đổi sau 3 3x2 a) x 7 7 y y b) xy y x2  y xy x x Bài 4: Đưa thừa số vào trong dấu căn x a) x x b) y y x y c) y x Dạng 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn I. Cách giải: - Khử mẫu của biểu thức lấy căn Bước 1: Nhân cả tử và mẫu của phân thức với ở trong căn với mẫu Bước 2: Khai phương một thương Bước 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi giản ước cho nhân tử chung A AB AB AB Với AB 0 , B 0 ta có: 2 B B B2 B - Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai của phân thức
5. Bước 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn Bước 2: Thu gọn đơn thức đồng dạng II. Bài toán Bài 1: Khử căn thức ở mẫu số các phân số 7 5 a. b. 108 6 10 4 c. d. 13 75 e. 3 2 2 f. 5 2 6 2 3 Bài 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn 2a 2 a) với ab 0 b) với a 0 3b 5a 3 c) 4x với x 0 , y 0 4xy Bài 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn 4 3 a) b) 7 5 11 11 c) d) 2 6 5 Bài 4: Khử mẫu của biểu thức lấy căn 72 Bài 5: Khử mẫu của các biểu thức lấy căn 11 a) b) 3x 27x 5y3 1 1 1 c) d) x3 3x2 3x 1 x2 x3 Bài 6: Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau 5x3 3 a. x 0; y 0 b. 7xy x 0; y 0 49y xy Bài 7: Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau 5b 1 16 a. a 0,b 0 b. ab a 0,b 0 49a3 4 ab
6. 3 3 4 3 4 Bài 8: Thu gọn biểu thức A 2 3 1 5 2 3 1 3 2 2 3 Bài 9: Thu gọn biểu thức A  2 3 3 2 2 3 Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu Bài 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau: 2 3 a) b) 5 2 6 4 3 9 c) d) 2 2 3 2 3 e) f) 3 5 7 3 3 7 g) h) 5 3 3 10 2 2 i) j) 3 5 40 Bài 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau: 2 3 a) b) 3 1 15 4 4 2 c) d) 3 1 5 3 5 2 e) f) 2 3 5 2 7 3 2 g) h) 3 2 3 2 Bài 3: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn 1 a. b. 3 5 2 2 3 3 3 5 Bài 4: Trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn 8 a. b. 2 3 5 3 2 3 Bài 5: Trục căn thức ở mẫu:
7. a 5 3 3 5 a) b) 3 2 2 5 3 3 5 2 c) 1 2 3 Bài 6: Trục căn thức ở mẫu: 2 5 a) với a 0 b) với x 0 ; x 9 a x 3 1 1 a c) với x 0 ; x 3 d) với x 0 ; x 1 x 3 1 a 1 1 e) với a 1 f) với x 0 ; x 9 x 1 x 3 Bài 7: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức 5 x2 1 a2 2a a) b) a 0,a 2 2 3 a 2 x 1 x c) với x 0, x 1 d) với x 0 , y 0 , 4x y x 1 2 x y Bài 8: Trục căn thức ở mẫu x2 1 a 1 a) với x 1 b) với a 1 x 1 2a 3 a 2 1 1 1 c) với x 0 d) với a 0,b 0 , ab . x 1 x a b 1 4 Bài 9: Trục căn thức và thực hiện phép tính 15 4 12 a. A 6 11 6 1 6 2 3 6 5 5 5 5 b. B 1 1 1 5 1 5 Bài 10: Trục căn thức và thực hiện phép tính 3 2 3 2 2 a. A 2 3 3 2 1 5 2 5 5 3 5 b. B 2 2 2 5 3 5
8. Bài 11: Trục căn thức ở mẫu 6 14 a. A 2 3 7 3 4 3 b. B 6 2 5 1 c. C 2 5 2 2 10 31 d. D 2 2 5 1 e. E 10 15 14 21 3 2 3 2 2 f. F ( 2 3) 3 2 1 Dạng 5: So sánh hai số chứa căn I. Cách giải: Để so sánh các căn bậc hai, ta cần chú ý:
9. - Với a,b không âm thì a b a b - Đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa về so sánh a và b . II. Bài toán Bài 1: Không dùng MTCT hãy so sánh a) a 3 2 và b 2 3 b) a 5 6 và b 7 3 2 1 c) a 3 2 và b 5 1 3 5 Bài 2: Không dùng MTCT hoặc bảng số, hãy so sánh 5 2 a) 2 và 7 4 3 b) 3 11 và 2 23 Bài 3: So sánh các cặp số dưới dây 5 3 3 a) 2 29 và 4 3 b) 2 và 4 2 2 c) 3 3 và 12 d) 7 và 3 5 Bài 4: So sánh các cặp số dưới dây 5 1 1 a) 5 2 và 3 13 b) và 6 2 6 37 1 1 1 1 a) 51 và 150 b) 6 và 6 3 5 2 2 Bài 5: b) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần: 2 3 , 3 2 , 17 , 2 6 1 1 1 1 a) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 5 , 39 , 35 , 32 . 2 3 5 4 b) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 3 13 , 7 7 , 13 2 . Bài 6: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: 3 5;2 6; 29;4 2 Bài 7: Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: 7 2;2 8; 28;5 2 Bài 8: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần 2 2 a) 6 3 , 7 2 , 15 , 9 1 5 9
10. 2 1 b) 71 , 12 , 21 , 5 3 3 2 Bài 9: Tính giá trị biểu thức a. A 200 32 72 1 b. B 4 20 3 125 5 45 15 5 c. C (2 8 3 5 7 2)( 72 5 20 2 2) d. D 5 3 29 12 5 5 3 ( 20 3)2 e. E 5 3 29 6 20 f. F 6 2 5 13 48 g. G 4 5 3 48 10 7 4 3 Dạng 6: Rút gọn biểu thức chứa căn Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) 24 4 6 b) 20 5 c) 12 27 48 d) 20 80 45 e) 18 50 98 f) 8 3 6 Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 4 a) 4,5 72 5 b) 32 18 2 2 2 25 3 98 1 c) 40 10 12 d) 200 50 4 6 2 3 8
11. 2 1 1 2 e) 4 2 f) 2 3 75 1 3 9 2 18 Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) 2 10 2 5 b) 3 72 4,5 12,5 2 3 c) 12 3 2 Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: 3 3 a) A 1 1 2 2 3 4 1 b) B 5 2 6 2 6 5 22 11 21 7 Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: 7 11 1 2 1 3 Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau 2 a. A . 2a8 (a2 4a 4)(a 2) a 2 15 16u 2 169u3 b. B 4 25u (u 0) 2 9 u 4 100x 4 x3 c. C 5 4x 3 (x 0) 9 x 4 1 1 d. D 36b 54b 150b(b 0) 3 5 1 4v e) E 9 6v v2 5 v 3 3 3 t 3 f) F 4 4t t 2 2 t 2 2 2 Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau: 1 a a a) A với a 0 a a b) B 2x 16xy3 7 25x3 y3 3y 36x3 y với x 0 ; y 0 a b 1 c) C 9ab 7 5 3ab với a 0 ; b 0 b a ab
12. 2 x 1 d) C 9x 3 4x x2 với x 0 3 4 x a 4 1 e) D 9a a a3 4 a 2a a b 2b Bài 8: Rút gọn biểu thức A với a 0 , b 0 , a b . a b a b a b Bài 9: Trong thuyết tương đối, khối lượng m kg của một vật chuển động với tốc độ m v m/s được cho bởi công thức: m 0 v2 1 c2 Trong đó m0 kg là khố lượng của vật khi đứng yên, c m/s là tốc độ của ánh sáng trong chân không (the0 sách Vật lí đại cương, NXB giáo dục Việt Nam 2016). a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu. b) Tính khối lượng m theo m0 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật 1 chuyển động với tốc độ v c . 10 Bài 10: Biết rằng hình thang và hình chữ nhật ở dưới hình có diện tích bằng nhau. Tính chiều cao h của hình thang. y x Bài 11: Rút gọn biểu thức P xy x y xy x xy Bài 12: Rút gọn biểu thức P 3 : y x 3 xy x x y y Bài 13: Rút gọn biểu thức P xy : x y x y x x 1 Bài 14: Rút gọn biểu thức P 1 : x x 1 x x 1 x 1 2 x 3 x 1 2 2 Bài 15: Rút gọn biểu thức P  x 1 x 1 1 x x x
13. x 1 2 x 2 5 x Bài 16: Cho biểu thức P x 2 x 2 4 x a) Rút gọn P 2 b) Tính giá trị của P với x . 2 3 x 2 x 2 4x Bài 17: Cho biểu thức P : 2 x 1 x 2 x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P, biết x 5 4 . 2 xy x y 2 x Bài 18: Cho biểu thức P  x y 2 x 2 y x y a) Rút gọn P x 4 b) Tính giá trị của P, biết . y 9 1 2 2 1 Bài 19: Cho biểu thức P : x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 a) Rút gọn P 1 b) Tìm x để P 2 1 3 x 3 x 3 Bài 20: Cho biểu thức P : x 3 x x 9 x x 3 x 3 x a) Rút gọn P b) Tìm x để P 1 Bài 21: Chứngminh rằng giá trị của biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị thích hợp của x và y x 2 x y x y y x A  2 xy y xy x x y x 2 x 1 1 Bài 22: Cho biểu thức B x x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn B b) Chứng minh rằng B luôn luôn có giá trị không âm với mọi giá trị thích hợp của x .
14. 1 2 x Bài 23: Cho biểu thức C : 1 x 1 x x x x 1 x 1 a) Rút gọn C b) Chứng minh rằng C luôn luôn có giá trị không âm với mọi giá trị thích hợp của x . x 1 6 x 1 x Bài 24: Cho biểu thức D 2 : 2 x 3 2 x 3 x 1 x 1 a) Rút gọn D . 3 b) Chứng minh rằng D . 2 1 1 x 4 Bài 25: Cho biểu thức P : 2 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P. x 3 x 3 14 x 3 Bài 26: Cho biểu thức Q  x 3 x 3 9 x 2 a) Rút gọn Q . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q . Dạng 7: Chứng minh đẳng thức 2 2 a2b 8 a 2ab b 2 Bài 1: Cho a b 0 . Chứng minh rằng 6b a b 75a4b 15 x y 4 xy x y x Bài 2: Cho x 0, y 0 và x y . Chứng minh rằng : x y x y x x y Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau với x 0, y 0 và x y . x x y y 2 y xy : x y 1 x y x y Bài 4: Chứng minh rằng a a b b a. ab ( a b)2 (a,b 0) a b
15. a b a b b. (a,b 0;a b) a b a b a b (a b b)( a b) ab b2 2 ab3 c. . b(a,b 0) a b a(a 2 b) b Dạng 8: Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai để giải phương trình I. Cách giải: +) Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa: A có nghĩa khi A 0 A B(A 0; B 0) +) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: A2 B A B(B 0) A B(A 0; B 0) +) Rút gọn các căn thức đồng dạng +) Biến đổi phương trình về dạng: A B A B2 B 0 II. Bài toán Bài 1: Giải các phương trình sau a 3 4a 12 9a2 81 a. 25 7 7 a2 9 18 0 25 9 81 1 b. 18x 9 8x 4 2x 1 4 3 1 Bài 3: Giải phương trình: 18x 9 8x 4 2x 1 4 3 Bài 4: Giải các phương trình sau 3 x 2 a. 4x 8 9 6 2 81 b. 9x 9 4x 4 16x 16 3 x 1 16(x 1) 1 1 c. 2 0(x 1; x 0) x2 1 1 x2 1 1 x 2 d. 36x 72 15 4(5 x 2)(x 2) 25 1 1 1 e. 1(x 0) x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai
16. a. A2.B A . B A 0; B 0 b. A B A2 B A 0; B 0 c. A B A 2 .B A 0; B 0 d. B2.A B. A B 0; A 0 Câu 2: Khẳng định nào sau đây đúng a. 4 3 4 2 .3 b. 3 2 .5 3 5 3 5 1 c. 2 7 14 d. 5 27 5 Câu 3: Kết quả rút gọn 5 5x 3 45x 2 80x 4 20x là số nào a. 3 5x b. 3 5x c. 4 5x d. 4 5x 180 45 80 245 Câu 4: Rút gọn phân số được kết quả nào 125 1 2 a. b. 5 5 3 4 c. d. 5 5 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: 180 45 80 245 6 5 3 5 4 5 7 5 2 Ta có: 300 5 5 5 Câu 5: So sánh nào sai 2 3 3 2 a. 3 5 5 3 b. 3 2 2 3 3 4 4 3 c. d. 7 2 2 7 4 5 3 4 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích:
17. 3 5 32.5 45  A) Đúng. Ta có:  3 5 5 3 2 5 3 5 .3 75 2 3 4 3 2  . 3 2 9 2 3 2 3 3 2 B) Sai. Ta có:  3 2 9 2 3 3 2 2 3 . 2 3 4 3 2  4 3 16 3 4  . 3 4 9 4 3 4 3 3 4 C) Đúng. Ta có:  3 4 9 4 3 3 4 4 3 . 4 3 16 3 4  7 2 72.2 98  D) Đúng. Ta có:  7 2 2 7 . 2 2 7 2 .7 28 1 2b Câu 6: Nếu a 3 và b thì giá trị của biểu thức a . a2 4ab 4b2 sẽ là số nào 2 2b a a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 Câu 7: Nếu 5 3x 4 27x 6 12x 7 75x 120 thì x là số nào 16 17 a. x b. x 3 3 19 20 c. x d. x 3 3 2 3 2 Câu 8: Giải phương trình .x 3 thì x là số nào 7 a. Phương trình có ngiệm là x 7 b. Phương trình có nghiệm là x 7 3 c. Phương trình có nghiệm là x 7 d. Phương trình vô nghiệm Câu 9: Cho hai số a,b không âm. Khẳng định nào sau đây đúng a b a b a. ab b. ab 2 2 a b a b ab c. ab d. 2 2 3 Câu 10: Với a dương. Khẳng định nào sau đây là đúng
18. 1 1 a. a 2 b. a 3 a a 1 1 c. a 4 d. a 4 a a BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a) 75 b) 27a c) 50 2 100 d) 9 5 18 Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn a) 3 2 b) 2 7 15 16 c) 4 d) 5 2 5 Bài 3: Đưa thừa số ra ngoài đấu căn: a) 5a2 a 0 b) 18a2 a 0 c) 9b3 b 0 d) 24a4b8 a,b R Bài 4: Đưa thừa số vào trong đấu căn: a) x 7 x 0 b) x 15 x 0 1 1 27 c) 19y y 0 d) y y 0 y 3 y2 Bài 5: Khử mẫu trong dấu căn 4 5 a) b) 7 24 3 c) 2a  5 Bài 6: Khử mẫu của biểu thức lấy căn 5 3a a) 3x  với x 0 b) với a 0,b 0 x b 2 a2 c) với a 0 d) 2ab với a 0,b 0 3a3 2b
19. Bài 7: Trục căn thức ở mẫu 4 3 5 1 a) b) 5 5 2 3 3 2 c) d) 1 3 3 2 Bài 8: Trục căn thức ở mẫu 2 5 10 a) b) 2 3 5 9 2 c) d) với a 0 2 3 a 7 4 e) f) 3 2 13 3 10 3 2 g) f) 5 2 5 3 2 Bài 9: Trục căn thức ở mẫu 3 a a) với a 0 12a 5 b) với x 0 , x 9 x 3 a b c) với a 0 , b 0 , a b a b 1 d) với x 0 , x 3. x 3 Bài 10: Tìm số lớn hơn trong các cặp số dưới đây 2 7 1 a) 2 6 và 3 3 b) 6 và 5 4 3 Bài 11: Tìm số bé hơn trong các cặp số dưới đây 1 1 a) 2 23 và 3 10 b) 2 và 21 5 5 Bài 12: Sắp xếp các số a) 2 5;3 2;5; 23 theo thứ tự tăng dần b) 5 2;2 13;4 3; 47 theo thứ tự giảm dần Bài 13: Rút gọn biểu thức
20. 25x 8 9x 4 9x3 a. A 4 (x 0) 4 3 4 3x 64 y 3 3 1 b. B 1 4y 4y2 (y ) 2 4 2 2 Bài 14: Tính 4 2 a) 3  6 b) 1 2 5 3 c) 2 3 27 d) 45 20 5 Bài 15: Rút gọn các biểu thức 27 a) 18 : 6 8  2 9 b) 64a 18 a 50 với a 0 . a Bài 16: Rút gọn các biểu thức sau 2 3 5 48 3 27 2 12 a) 2 4 b) 3 2 3 1 4 2 4 c) 3 2 2 2 2 a b 2b Bài 17: Rút gọn biểu thức: P với a 0,b 0,a b a b a b a b 1 1 Bài 18: Rút gọn biểu thức: A x với x 0 , x 3 x 3 3 x Bài 19: Chứng minh rằng: a b b a 1 a) : a b với a 0 , b 0 ab a b a a a a b) 1 1 1 a với a 0 , a 1 a 1 a 1 Bài 20: Thực hiện phép tính 2 3 15 1 a. A . 3 1 3 2 3 3 3 5