Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Bất đẳng thức và tính chất

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 (Kết nối tri thức) - Chủ đề: Bất đẳng thức và tính chất

1. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Bất đẳng thức Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm biểu đến số bé hơn nằm trước điểm biểu diễ số lớn hơn. Chẳng hạn, 2,5 1 1,5 - Số a lớn hơn hoặc bằng số b , tức là a b hoặc a b , kí hiệu a b - Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b , tức là a b hoặc a b , kí hiệu a b Ta có hệ thức có dạng a b (hay a b , a b , a b ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của đẳng thức. * Chú ý: Hai bất đẳng thức 1 2 và 3 2 (hay 6 3 và 8 5) được gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Hai bất đẳng thức 1 2 và 2 3 (hay 6 3 và 5 8) được gọi là bất đẳng thức ngược chiều. * Tính chất: Nếu a b và b c thì a c (tính chất bắc cầu của bất đẳng thức). Tương tự các thứ tự Lớn hơn (>), lớn hớn hoặc bằng ( ), nhỏ hơn hoặc bằng ( ) Cũng có tính chất bắc cầu. 2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân - Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. - Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. ! Với ba số a,b,c và c 0 , ta có: • Nếu a b thì ac bc Nếu a b thì ac bc • Nếu a b thì ac bc Nếu a b thì ac bc ! Với ba số a,b,c và c 0 , ta có: • Nếu a b thì ac bc Nếu a b thì ac bc • Nếu a b thì ac bc Nếu a b thì ac bc . Dạng 1: Viết bất đẳng thức và một số yếu tố liên quan
2. Bài 1: Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau: a) x nhỏ hơn 5 b) a không lớn hơn b c) m không nhỏ hơn n Bài 2: Biển báo giáo thông R.306 (hình bên ) báo tốc độ tối thiểu cho xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với vận tốc không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với vận tốc a (km/h) thì a phải thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau? A. a 60 B. a 60 C. a 60 D. a 60 Bài 3: Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau: a) Tuần tới, nhiệt độ t (C ) tại Tokyo là trên 5C b) Nhiệt độ t (C ) bảo quản của một loại sữa là 4C c) Để được điều khiển xe máy điện thì tuổi x của một người phải ít nhất là 16 tuổi Bài 4: Hãy chỉ ra một bất đẳng thức diễn tả số a lớn hơn 3 . Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì? Bài 5: Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn xe cơ giới được phép đi (hình bên). Viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép trong tình huống mở đầu biển báo a) Ô tô ơ làn giữa b) Xe máy ở làn bên phải Bài 6: Gọi a là số tuổi của bạn Na, b là số tuổi của bạn Toàn, biết rằng bạn Toàn lớn hơn tuổi của bạn Na. Hãy dùng bất đẳng thức để biểu diễn mối quan hệ về tuổi của hai bạn đó ở hiện tại và sau ba năm nữa Bài 7: Xác định vế trái và vế phải của các bất đẳng thức sau: a) 2 7 b) a2 1 0 Bài 8: Trong các cặp bất đẳng thức sau đây, cặp bất đẳng thức nào cùng chiều? a) 3 4 và 11 23 b) 50 7 và 6 34 c) 7 13 và 82 97 Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Chứng minh rằng
3. 2024 2021 2024 a) b) 1,9 2023 2022 1000 2022 c) 1,1 2023 Bài 2: Chứng minh rằng a) 11 3 10 3 b) 2023 ( 229 ) 2022 ( 229 ) 2024 2025 c) 2023 2024 Bài 3: Cho hai số a và b thỏa mãn. Chứng tỏ rằng a 3 b 5 Bài 4: Cho hai số m và n thỏa mãn m n . Chứng tỏ m 5 n 4 Bài 5: Chứng minh a) (a 1)2 2a 2 với a2 1 b) (a 1)2 4 2a với a2 3 c) (a 1)2 a2 1với a 1 Bài 6: Cho a b và c d . Chứng minh a c b d Bài 7: Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a b và c d . Chứng minh ac bd Bài 8: Cho a b . Chứng minh a) a b 2a b) 5a b 4a ; c) a 1 b 6 Bài 9: Cho a 2b . Chứng minh a) 2a 1 a 2b 1 b) 4b 4a 5a 2b Bài 10: Cho a b . Chứng minh 5b 2 5a 2 Bài 11: Cho a b . Chứng minh a) 3a 19 3b 19 b) 2a 8 2b 8 c) 2a 1 2b 1 Bài 12: Chi hai số a,b thỏa mãn a2 b2 0 . Chứng minh 5a2 4b2 3 Bài 13: Cho hai số m,n thỏa mãn 0 m2 n2 . Chứng minh m2 2n2 2 Dạng 3: So sánh hai số Bài 1: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh : a) 2023 ( 19) và 2023 ( 19) b) 19 2023 và 31 2023
4. c) 2 2 và 4 c) 3 2350 và 2 2350 Bài 2: Cho a b , hãy so sánh a) a 3 và b 3 b) 5a 1 và 5b 1 Bài 3: Cho số a bất kì, hãy só sánh: a) a với a 4 b) a 7 và a 5 Bài 4: Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp ( ) để được khẳng đinh đúng a) 3.( 7) ? 3.( 5) b) ( 3).( 7) ? ( 3).( 5) Bài 5: Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp ( ) để được khẳng đinh đúng a) 13.( 105) ? 13.11,2 b) ( 13).( 10,5) ? ( 13).11,2 Bài 6: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh a) 1962.12 và 1963.12 b) 47.( 19) và 50.( 19) c) ( 163).( 75)15 và ( 162).( 75)15 d) m và n , biết 10m 10n Bài 7: Cho số m bất kì, hãy so sánh m2 và m Dạng 4: Bài toán thực tế Bài 1: Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại mọt trang trại trong 1 ngày ( từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là 60000 đồng và mỗi suất ăn sáng là 30000 đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được? Bài 2: Một ca nô đi xuôi dòng trong 2 giờ 30 phút. Biết rằng tốc độ ca nô khi nước yên lặng không quá 40 km/h và tốc độ của dòng nước là 6 km/h. Chứng minh quãng đường ca nô đi được trong thời gian trên không vượt quá 115km/h Bài 3: Chỉ số cơ thể , thường được biết đến với tên viết tắt là BMI (tiếng anh là Body Mass Index) cho phép đánh giá thể trạng của một người gầy, bình thường hay béo. m Chỉ số cơ thể của người được tính theo công thức sau BMI , trong đó m là khối h2 lượng cơ thể tính theo kilogam, h là chiều cao tính theo mét. Căn cứ vào bảng đánh giá thể trạng ở người lớn theo BMI đối với khu vực châu Á-Thái Bình Dương, một người đàn ông có BMI 30 sẽ bị béo phì độ II (trung bình) hoặc độ III (nặng), người đó cần phải có biện pháp tập thể dục, thể thao, thay đổi chế dộ dinh dưỡng để có được cơ thể khỏe mạnh (Nguồn: Toán 7- Tập Hai, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017). Bác Dũng có chiều cao 1,65 và cân nặng ít nhất là 82 kg. Hỏi bác Dũng có bị béo phì độ II hoặc độ III không?
5. Dạng 5: Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức I. Phương pháp giải  Khi f (x) k ( k là hằng số) và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x a thì giá trị nhỏ nhất của f (x) là k khi và chỉ khi x a Ta viết min f (x) k khi và chỉ khi x a  Nếu f (x) k ( k là hằng số) và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x a thì giá trị lớn nhất của f (x) là k khi và chỉ khi x a Ta viết max f (x) k khi và chỉ khi x a II. Bài toán Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 6x 10 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 5x2 10x 3 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C x2 5x 4 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E 2x2 8x y2 10y 43 2x 1 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x2 2 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau: a) x nhỏ hơn hoặc bằng 2 b) m là số âm c) y là số dương c) p lớn hơn bằng 2024 Bài 2: Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau: a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô b) Xe buýt chở được tối đa 45 người c) Mức lương tối thiểu trong một giờ làm việc của người lao động là 20000 đồng Bài 3: Dùng kí hiệu >, <, , để diễn tả: a) Tốc độ v đúng quy định với biển báo giao thông hình dưới b) Trọng tải P của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở hình 4b
6. Bài 4: Hãy chỉ ra bất đẳng thức trong mỗi khẳng định sau: a) m lớn hơn 8 b) n nhỏ hơn 21 c) x nhỏ hơn hoặc bằng 4 d) y lớn hơn hoặc bằng 0 Bài 5: Hãy cho biết bất đẳng thức được tạo thành khi: a) Cộng hai vế của bất đẳng thức m 5 với 4 b) Cộng hai vế của bất đẳng thức x2 y 1 với 9 c) Nhân hai vế của bất đẳng thức x 1 với 3 , rồi tiếp tục cộng với 2 d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức m 1 với 1, rồi tiếp tục cộng với 7 Bài 6: Cho a b , hãy so sánh a) 5a 7 và 5b 7 b) 3a 9 và 3b 9 Bài 7: So sánh hai số a và b , nếu: a) a 1954 b 1954 b) 2a 2b Bài 8: So sánh hai số x và y trong ,mỗi trường hợp sau: a) x 5 y 5 b) 11x 11y c) 3x 5 3y 5 d) 7x 1 7y 1 Bài 9: So sánh 2m và m Bài 10: Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh: a) 2.( 7) 2023 2.( 1) 2023 b) ( 3).( 8) 1975 ( 3).( 8) 1975 Bài 11: Chứng minh rằng: 2023 2024 34 26 a) ; b) 2024 2023 11 9 Bài 12: Chứng minh a) 29 6 28 6
7. b) 26,2 2a 3,2 26,4 với 11,5 a 11,6 Bài 13: 1 1 1 4 a) a2 với a 0 1.2 2.3 3.4 5 b) 2m 4 2n 3 với m n Bài 14: 1 1 a) Cho a b 0 . Chứng minh a b b) áp dụng kết quả trên, so sánh 2022 và 2023 2023 2024 Bài 15: Chứng minh x2 y2 2xy với mọi số thực x, y Bài 16: Cho a 3 b 3 . Chứng minh rằng 2a 1 2b 1 a b c Bài 17: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a 2 Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 28x 101 Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C x2 5x