Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 - Chủ đề: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 - Chủ đề: Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC 1. Hai đường tròn cắt nhau * Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm của chúng. * Nhận xét: Hai đường tròn O; R và O ; R cắt nhau khi: R R OO R R (với R R ) 2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau * Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng * Lưu ý: Người ta phân biệt hai trường hợp: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (hình a) và hai đường tròn tiếp xúc trong (hình b) * Nhận xét: + Hai đường tròn O; R và O ; R tiếp xúc ngoài khi OO R R và tiếp xúc trong khi OO R R (với R R ) + Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm. 3. Hai đường tròn không giao nhau. * Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau * Lưu ý: Người ta phân biệt hai trường hợp: Hai đường tròn ngoài nhau (hình a) và đường tròn này đựng đường tròn kia (hình b)
2. * Nhận xét: + Hai đường tròn O; R và O ; R ngoài nhau khi OO R R + Đường tròn O; R đựng đường tròn O ; R khi R R và OO R R . Đặc biệt khi O trùng với O và R R thì ta có hai đường tròn đồng tâm. Ta có bảng tổng kết sau: Vị trí tương đối của hai đường Số Hệ thức Hình vẽ tròn O; R và O';r R r điểm chung Cắt nhau 2 R r OO' R r R r O O' Tiếp Tiếp xúc trong 1 OO' R r 0 xúc R O O' r
3. Tiếp xúc ngoài OO' R r R r O O' Không Ngoài nhau 0 OO' R r cắt R r nhau Đựng nhau 0 OO' R r O O' OO' O O' O 3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó a) Hai đường tròn cắt nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung (hình vẽ b) c) Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có một tiếp tuyến chung (hình c) d) Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong (hình vẽ d) e) Hai đường tròn chứa nhau không có tiếp tuyến chung f) Hai đường tròn đồng tâm không có tiếp tuyến chung
4. O O' O O' Hình a Hình b O O' O O' Hình c Hình d B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn Bài 1: Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn tròn hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên. Lời giải Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn O; R và O ; R trong mỗi trường hợp sau: a) OO 12; R 5; R 3 b) OO 8; R 5; R 3 c) OO 7; R 5; R 3 d) OO 0; R 5; R 4 Bài 3: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn I;R và J; R trong mỗi trường hợp sau: a) IJ 5; R 3; R 2 b) IJ 4; R 11; R 7
5. c) IJ 6; R 9; R 4 d) IJ 10; R 4; R 1 Bài 4: Cho hai điểm O và O\prime sao cho OO 5cm. Hãy giải thích tại sao hai đường tròn O;4cm và O ;3cm cắt nhau. Bài 5: Cho đường tròn O;5cm và điểm I cách O một khoảng 2cm . Xác định vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn I;r trong mỗi trường hợp sau: Bài 6: Cho hai đường tròn O;4cm và O ;3cm . Biết rằng OO 5cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó. Bài 7: Cho hai đường tròn O;14cm ; O;5cm với OO 8cm. Hỏi hai đường tròn đó có cắt nhau hay không? Bài 8: Cho hai điểm O và O sao cho OO 5cm. Giải thích tại sao hai đường tròn O;3cm và O ;2cm tiếp xúc nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài? Bài 9: Cho hai điểm O và O sao cho OO 3cm. Giải thích tại sao hai đường tròn O;8cm và O ;5cm tiếp xúc nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài? Bài 10: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn O;3cm và O ;5cm biết OO 8cm Bài 11: Cho hai điểm O và O sao cho OO 2cm. Xác định vị trí tương đối cảu hai đường tròn O;5cm và O ;r biết rằng r 3cm. Bài 12: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Lấy điểm A tùy ý trên O . Vẽ đường tròn đường kính OA . Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;1 và B 3;0 . Vẽ các đường tròn A;r và B;r . Khi r 3 và r 1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. Bài 14: Cho ABC có Bµ,Cµ 90 , đường cao AH. Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K , HI vuông góc với AC tại I . Xác định vị trí tương đối của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK và đường tròn ngoại tiếp tam giác CHI . Lời giải
6. Dạng 2: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau I. Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau ·ABH ·ANH II. Bài toán Bài 1: Cho đường tròn O và O ' tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC với B thuộc O , C thuộc O ' . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I a. Vẽ đường kính BOD và CO ' E . Chứng minh các bộ ba điểm B, A, E và C, A, D thẳng hàng b. Chứng minh BAC, DAE có diện tích bằng nhau c. Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OKO' tiếp xúc với BC d. Cho OA 4,5cm;O ' A 2cm . Tính AI, BC,CA B C O O' I D K E Bài 2: Cho hai đường tròn O; R và O ';r tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC với B O ,C O' . Đường thẳng vuông góc với OO ' kẻ từ A cắt BC ở M a) Tính MA theo R và r b) Tính diện tích tứ giác BCO'O theo R và r c) Tính diện tích BAC theo R và r
7. d) Gọi I là trung điểm của OO '. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn I; IM B M Lời giải C O I A O' Bài 3: Cho hai đường tròn O và O ' tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO 'C . Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Gọi M là giao điểm của BD và CE a. Tính D· AE b. ADME là hình gì ? Vì sao ? c. Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn d. Chứng minh: MD.MB ME.MC e. Gọi H là trung điểm của BC , chứng minh rằng MH DE M 1 D 1 I E 1 1 2 2 B O H A O' C Bài 4: Cho ba điểm J, I, J ' cùng nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó. Cho biết IJ 10cm, IJ ' 4CM . Vẽ đường tròn O đường kính IJ và đường tròn O ' đường kính IJ ' a. Chứng minh O và O ' tiếp xúc ngoài ở I b. Gọi A là 1 điểm trên đường tròn O , tia AI cắt O ' ở A'. Chứng minh rằng AIJ# A'IJ '
8. c. Qua điểm I kẻ 1 cát tuyến cắt O ở B ( B và A thuộc hai nửa mặt phẳng bờ IJ ), cắt đường tròn O ' ở B'. Chứng minh: IAB# IA'B' d. Chứng minh rằng: OAB# O; A' B ' e. ABA'B' là hình gì vì sao ? Lời giải B A' 2 1 J O 3 4 J' O' I B' A Bài 5: Cho 3 điểm A, B,C theo thứ tự đó trên một đường thẳng và AB 4BC . Trên cùng một nửa măt phẳng bờ AC vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O' có đường kính BC . Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn có tiếp điểm với đường tròn O ở F với nửa đường tròn O ' ở G , cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và C của hai nửa đường tròn đó ở D và E. Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn ở B cắt DE ở I a. Chứng minh các tam giác OIO', OID , O'IE là các tam giác vuông b. Đặt O'C a (a là độ dài cho trước). Tính BI, EG và AD theo a c. Tính diện tích tứ giác ADEC theo a Lời giải D F I G E A C O B O'
9. Dạng 3: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn cắt nhau I. Cách giải : Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn cắt nhau II. Bài toán Bài 1: Cho hai đường tròn O;12cm và O';5cm , OO' 13cm a) Chứng tỏ rằng hai đưuòng tròn O và O ' cắt nhua tại hai điểm phân biệt b) Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn O và O ' . Chứng minh rằng OA là tiếp tuyến của đường tròn O ' , OA là tiếp tuyến của đường tròn O . Tính độ dài AB Lời giải A O H O' B Bài 2: Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau ở A và B (O và O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB ). Kẻ các đường kính BOC và BO ' D a. Chứng minh rằng ba điểm C, A, D thẳng hàng b. Biết OO ' 5cm,OB 4cm,O ' B 3cm . Tính diện tích tam giác BCD Lời giải B O O' C A D
10. Bài 3: Cho hai đường tròn O và O ' giao nhau tại M và N . Gọi I là trung điểm của OO '. Đường thẳng kẻ qua M vuông góc MI cắt đường tròn O và O ' lần lượt ở A và B. Hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và B cắt đường tròn O ở A P, O ' ở Q H M K a. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB B b. MI cắt PQ ở E, chứng minh: EP EQ O I O' c. Chứng minh: IH IK P E N Q Bài 4: Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO '. Đường thẳng qua A cắt các đường tròn O và O ' lần lượt ở C và D a. Khi CD  AB. Chứng minh: AC AD b. Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA - Vẽ đường kính AE của O , AE cắt O ' ở H . Vẽ đường kính AF của O ' , AF cắt O ở G . Chứng minh AB, EG, FH đồng quy - Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất Lời giải G C H A D O M O' E B F Bài 5: Cho góc vuông xOy . Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox,Oy . Đường tròn I;OK cắt tia Ox tại M ( I nằm giữa O và M), đường tròn K;OI cắt tia O y tại N ( K nằm giữa O và N ) a. Chứng minh I và K luôn cắt nhau b. Tiếp tuyến tại M của I , tiếp tuyến tại N của K cắt nhau tại C. Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông
11. c. Gọi A, B là các giao điểm của I và K trong đó B ở miền trong góc xOy . Chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng d. Giả sử I và K theo thứ tự đi động trên các tia Ox và O y sao cho OI OK a không đổi. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải N P C Dạng 3: Các bài toán về hai đường tròn không cắt nhau I. Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí B tương đối của hai đường tròn liên quan đến K L trường hợp hai đường tròn không giao nhau O M II. Bài toán I A Bài 1: Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R và r . Dây MN của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại A và B. Gọi BC là đường kính của đường tròn nhỏ. Tính giá trị của C biểu thức AC 2 AM 2 AN 2 theo R và r O F R Bài 2: Cho hai đường tròn O; R và O ';r ở ngoài M A E B N nhau. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, EF Là tiếp tuyến chung trong ( M và E thuộc O , N và F thuộc O; ). Tính bán kính của đường tròn O và O ' trong các trường hợp sau: a) OO ' 10cm, MN 8cm, EF 6cm M b) OO ' 13cm, MN 12cm, EF 5cm E H Lời giải N O Bài 3: Cho hai đường tròn O;6cm và O';2cm nằm ngoài nhau. Gọi AB là tiếp tuyếnO' chung ngoài, CD là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn ( A,C O ;B,D O' ). Biết AB 2CD , tính A độ dài đoạn nối tâm OO ' K B H D Lời giải O O' C K
12. Bài 4: Cho hai đường tròn O và O ' nằm ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD ( A,C O ;B,D O' ). Tiếp tuyến chung trong MN cắt AB,CD theo thứ tự tại E, F , M O , N O' . Chứng minh: A E a) AB EF M B b) EM FN O O' N Dạng 4: Chứng minh các tính chất về hệ F D thức hình học C Bài 1: Cho hai đường tròn O; R và O ; R tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC , B O , C O . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I . Chứng minh rằng: a) O· IO 90 b) BC 2 RR Bài 2: Cho hai đường tròn O và O cắt nhau tại A và B, trong đó O\prime nằm trên đường tròn O . Kẻ đường kính O C của đường tròn O . a) Chứng minh rằng CA , CB là hai tiếp tuyến của O b) Đường vuông góc với AO cắt CB tại I . Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O B ở K . Chứng minh rằng ba điểm O, I , K thẳng hàng. Bài 3: Cho hai đường tròn O1; R1 và O2;R2 (với R1 R2 ) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài BC và DE (với B, D thuộc O1 ; C, E thuộc O2 ). Chứng minh rằng: BC DE BD CE Bài 4: Cho hai đường tròn O1 và O2 ngoài nhau. Vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (với A, D thuộc O1 ; B, C thuộc O2 ). Nối AC với O1 tại M ; cắt O2 tại N với M A, N C . Chứng minh rằng AM NC. * Lưu ý: Trong bài toán ta đã sử dụng tính chất đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và đi qua trung điểm của một đường chéo thì đi qua trung điểm của đường chéo còn lại. Dạng 5: Tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: Trong hình vẽ, cho hai đường tròn đồng tâm O. Cho biết BC là đường kính của đường tròn lớn và độ dài bằng 8. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và B· CD 30. Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ.
13. Bài 2: Cho hai đường tròn O; R và O ; R cắt nhua tại M và N . Biết OO 24cm, MN 10cm. Tính R. Bài 3: Cho hai đường tròn O; R và O ; R tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc O , N thuộc O . Biết R 9cm, R 4cm. Tính độ dài đoạn MN. Bài 4: Cho hai đường tròn O;3cm và O ;4cm cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (O) tại M (với M A), cắt O tại N ( N A ). Nếu O O 5cm. Hãy tính giá trị lớn nhất của MN. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Chiếc đồng hồ trang trí ở hình vẽ gợi nên vị trí tương đối của các đường tròn. Quan sát hình vẽ và chỉ ra một cặp đường tròn a) Cắt nhau b) Tiếp xúc ngoài c) Tiếp xúc trong d) Không giao nhau Lời giải Bài 2: Cho hai điểm O và O cách nhau một khoảng 5cm . Mỗi đường tròn sau đây có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn O;3cm . a) Đường tròn O ;3cm b) Đường tròn O ;1cm c) Đường tròn O ;8cm Bài 3: Xác định vị trí tương đối của O; R và O ; R trong mỗi trường hợp sau a) O O 18; R 10; R 6 b) O O 2; R 9; R 3 c) O O 13; R 8; R 5 d) O O 17; R 15; R 4
14. Bài 4: Cho ba điểm O, A và O\prime . Với mỗi trường hợp sau, hãy viết hệ thức giữa các độ dài O O ,OA và O A rồi xét xem hai đường tròn O;OA và O ;O A tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài với nhau. Vẽ hình để khẳng định dự đoán của mình. a) A nằm giữa O và O b) O nằm giữa A và O c) O nằm giữa A và O Bài 5: Cho hai đường tròn O và O tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng qua A cắt O tại B và cắt O tại C. Chứng minh rằng OB//O C Bài 6: Cho hai đường tròn O;2cm và A;2cm cắt nhua tại C, D , điểm A nằm trong đường tròn tâm O a) Vẽ đường tròn C;2cm b) Đường tròn C;2cm có đi qua hai điểm O và A hay không? Vì sao? Bài 7: Cho hai đường tròn A;6cm và B;4cm cắt nhau tại C và D , AD 8cm. Gọi K , I lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng AB . a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA,CB, DA và DB b) Điểm I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB hay không? c) Tính độ dài của đoạn thẳng IK. Bài 8: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn I; IA và B;BA Bài 9: Cho hai đường tròn O;8cm và O ;3cm . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB ( A O ; B O ). Tính độ dài đoạn thẳng AB nếu O O 13cm Bài 10: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đo và dựng các đường tròn đường kính AB , BC . Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn đường kính BC ( D là tiếp điểm), tiếp tuyến AD cắt đường tròn đường kính AB tại E E A . Chứng minh rằng tia BD là tia phân giác của góc EBC. Lời giải Bài 11: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M bất kì trên đường chéo BD M B,M D . Vẽ đường tròn O qua M và tiếp xúc với AB tại B, vẽ đường tròn O qua M và tiếp xúc với AD tại D . Hai đường tròn O và O cắt nhau tại điểm thứ hai N N M
15. a) Chứng minh rằng O N là tiếp tuyến của đường tròn O và ON là tiếp tuyến của O b) Khi M di động trên BD, tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn O O theo cạnh hình vuông ABCD. Bài 12: Cho O;4cm và O;2cm và O O 9cm. Dựng tiếp tuyến chung trong của O và O Bài 13: Cho đường thẳng d . Lấy điểm O thuộc d , vẽ hai nửa đường tròn O;r và O; R (với 0 r R) trên cùng một nửa mặt phẳng bờ d . Chứng minh điều kiện cần và đủ để có hai điểm A, D thuộc O;r và hai điểm B,C thuộc O; R sao cho ABCD là một hình vuông là r R r 2 1 Bài 14: Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung ngoài có tiếp điểm với hai đường tròn lần lượt ở M và N . Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn tại A cắt MN tại I a) Chứng minh tam giác MAN và OIO' là các tam giác vuông b) Xác định vị trí tường đối của đường thẳng MN với đường tròn đường kính OO ' c) Tính SOIO' biết bán kính của hai đường tròn tâm O và O' lần lượt bằng 48cm và 27cm. Bài 15: Cho đường tròn O đường kính AB và C là điểm nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính CB a) Xét vị trí tương đối của I và O b) Kẻ dây DE của O vuông góc với AC tại trung điểm H của AC . Tứ giác ADCE là hình gì?
16. c) Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng DB và I . Chứng minh ba điểm E,C, K thẳng hàng d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của I D K Bài 16: Cho hai đường tròn O; R và O';R' tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung A B ngoài tiếp xúc O và O ' lần lượt ở B H C O I và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I . Gọi E, F thứ tự là giao điểm của IO với AB của IO ' với AC E a) Chứng minh bốn điểm A, E, I, F cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm K của đường tròn này 1 b) Chứng minh: IE.IO IF.I 'O AB2 AC 2 2 c) Gọi P là trung điểm của OA . Chứng minh PE tiếp xúc với K d) Cho OO ' cố định và có độ dài 2a. Tìm điều kiện của R và R' để diện tích tam giác ABC lớn nhất. B Lời giải I C Bài 17: Cho đường tròn O; R đường kính AB , E K C là một điểm bất kỳ nằm giữa A và B. F Vẽ đường tròn tâm I , đường kính CA ; O P A O' đường tròn tâm K , đường kính CB a) Hai đường tròn I và K có vị trí như thế nào đối với nhau b) Đường vuông góc với AB tại C cắt đường tròn O ở D và E. DA cắt đường tròn I ở M, DB cắt đường tròn K ở N c) Xác định vị trí của C trên đường kính AB sao cho MN có độ dài lớn nhất d) Xác định vị trí của điểm C trên đường kính AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất. Lời giải
17. D M E N A B I O C K